《泛函分析》课程部分习题解答

,c女e:s=4且x,→xn→∞，要证x∈A,即证Fsk.由 x→x，n→且F连续F,)→F().由于}cA，故 F(x)sk一Fx)≤k→x∈A.故∈X:F()≤k}为闭集.所以每一个w,为 闭集，而X=Uw,由于X完备，故由Br纲定理知X是第二纲集.故k,使w 在某个开球Sx,r）中稠从而有W一S(x。,x）,而9=w,故m6一Sx。,r）, 因此r∈S,r)有x∈。从而Fe了有/≤.因此可以取开集U为： Sx,r=U,M=k,命题得证 (16)举例说明，在压缩映射原理中， 1)空间完备性条件不可少： 2)映射T所满足的条件不能代之以条件：dx,)<dx,y) 解1)设T:(0,+∞)→0，+∞)且x=ax,x∈0，+四)，其中0≤a<1.可以 看出T为0，+)上的压缩映射.事实上x,y∈(0，+)有 dx,y)=lx-=la-o=ladx,y)<al(x,y以，>0>a 因T为(Q,+)上的压缩映射，则T在0，+∞)没有不动点.否则，若T在(Q,+) 有不动点，可设x∈0，+)且为T的不动点，则有Tx=x。即 ar=x→自-aF=0→x=0E(0,+o)矛盾. 压缩映射T在0，+∞)没有不动点，是因为空间(Q,+0)不完备（由完备空间定义， 可以举例点列在0，+四)上，但收敛点0不在0，+内，所以0，+四不完 n 备) 2)作映射T:0,+o)→0，+o).x∈0，+o)(注：[0，+o)为R的闭子 空间，所以完备的) T水=x*+ 6

6 x  x X F x   A n   :  k  且 0 x x n  ， n  . 要证 x0  A ，即证 F x   k 0 . 由 0 x x n  ， n   且 F 连 续     0 F x F x  n  . 由 于 xn  A ， 故 Fxn  k  Fx0  k  x0  A . 故 x X : Fx  k 为闭集. 所以每一个 wk 为 闭集，而     k 1 X wk ，由于 X 完备，故由 Bair 纲定理知 X 是第二纲集. 故 0 k 使 0 wk 在某个开球 S(x 0 ,r) 中稠.从而有 w S x r  k 0 , 0  ，而 0 wk  wk ，故 w S x r  k 0 , 0  ， 因此 x S x ,r    0 有 0 wk x . 从而 F f ~   有   0 f x  k . 因此可以取开集 U 为: Sx 0 ,r   U ， 0 M  k ，命题得证. （16）举例说明，在压缩映射原理中， 1）空间完备性条件不可少； 2）映射 T 所满足的条件不能代之以条件： dTx,Ty dx, y 解 1）设 T : 0,    0,   且 Tx  x,x  0,   ，其中 0  1. 可以 看出 T 为 0,   上的压缩映射. 事实上 x,y  0,   有 dTx,Ty  TxTy  x y   dx, y dx, y， 1   因 T 为 0,   上的压缩映射，则 T 在 0,   没有不动点. 否则，若 T 在 0,   有不动点，可设 x  0,   且 为 T 的 不 动 点 ， 则 有 T x  x . 即 x  x  1  x  0  x  0  0,   矛盾. 压缩映射 T 在 0,   没有不动点，是因为空间 0,   不完备（由完备空间定义， 可以举例       n 1 点列在 0,   上，但收敛点 0 不在 0,   内，所以 0,   不完 备） 2）作映射 T : 0,    0,   . x  0,   （注： [0,  ) 为 1 R 的闭子 空间，所以完备的） x Tx x    1 1

映射T满足dx,y)<dx,y)x,y∈0，+o) 事实上， d(Tx,Ty)=Tx-Ty 周 1 x-y =K-y-0+x0+列 =k-0+0+可列 1 <x-=dk,y以 但T在[0，+o)没有不动点，否则设x∈b,+∞)有Tx=x,则 +1中xP+0, 矛盾 (18)设X是完备距离空间，T是X上到自身的映射，在闭球 B=xeX:do,x)sr}上，dx,y)≤6，y）且dx,x)k-h，其中 0≤0<1，证明T在B上有唯一不动点 证(1)证B完备：(2)T:B→B 1)因为BcX且B为闭，X完备，所以B完备. 2)xeB,下证TxeB.即证d(Tx,x)≤r 事实上， d(Tx.xo)<d(Tx.Txo)+d(Txo.xo) su(x,x。)+1-日r ≤0r+1-0r=可 (20)设X是紧距离空间，T是X上到自身的映射且满足条件：对x,y∈X

7 映射 T 满足 d Tx,Ty   d x,y ,x,y  0,   事实上, dTx,Ty  Tx Ty y y x x       1 1 1 1  x y x y x y       1 1  x y x y      1 1 1 1  x  y  dx, y. 但 T 在 [0,  ) 没有不动点，否则设 x  0,   有 T x  x ，则 0 1 1 1 1       x x x x , 矛盾. （18）设 X 是 完 备 距 离 空 间 ， T 是 X 上 到 自 身 的 映 射 . 在闭球 B  x X : dx0 , x  r 上 ， d Tx,Ty   d x,y  且 dx ,Tx   1 r 0 0 ，其中 0  1 ，证明 T 在 B 上有唯一不动点. 证 （1）证 B 完备；（2） T : B  B. 1）因为 B  X 且 B 为闭， X 完备, 所以 B 完备. 2） xB , 下证 Tx B. 即证 dTx x   r 0 , 事实上,       0 0 0 0 d Tx, x  d Tx,Tx  d Tx , x dx, x  1 r 0   r  1    r =r. （20）设 X 是紧距离空间， T 是 X 上到自身的映射且满足条件: 对 x, y X