数学的100个基本问随了.取k=1,a=2b=1代人上式即得一组最小解x=4,y=3,z=5或者x=3,y=4,z=5再取k=1,a=3,6=2代入上式又得到x=12，y=5,z=13或者x=5,y=12,z=13.当然，随着k，a，b的不同选取，可以得到不定方程x?+?=22无穷多组不同的解。丢番图间题则求两个数，使得它们平方的乘积加到这两个数中任何一个数的平方上仍为一个平方数，即求两个数a,b,使得a2b2+a2和a362+62均为平方数这是古希腊数学家丢番图（Diophantus）在其划时代巨著《算术》一书中提出的一个问题需要说明的是，丢番图只承认正有理数解，而且通常满足于找到一个解即可，所以上述丢番图问题中的两个数α和b均被限制为正有理数.关于该问题，丢番图给出的解答是α=3/4，b=7/24.但人们感兴趣的是，这个丢番图问题是否还有其他的正有理数解，以及如何找出所有这样的解，现在给出丢番图问题的所有解.假设a，b，u，均为正有理数，满足(1)a262+a2=12,ab2+62=2.因为α和6均不为零，故（1)可变形为62+1=(兰)3,a2+1=(号)2,(2)接着，通过去掉分母把方程（2）中的正有理数均化为正整数.事实上，选取正整数c使得bc和cu/a均为正整数：同理选择正整数d使得ad和do/b也都是正整数.于是（2）可等价地变为(be)2+2=()2,(ad)+d=(鲁)2(3)h26
、算术问题由此即可看出（3)中的两组正整数bc.c.cu/a以及ad，d，do/b均为不定方程x2+2=2的正整数解，根据问题010中的结论，不定方程+=的全部正整数解可表为x= k(2st),y=h(s2- t2),z=k(s2+ t),或者x= k(s2-2),y=k(2st),z=k(s2+2),其中k，s,t为任意正整数，但要求s和互素，s>t，并且s和中一个为奇数而另一个为偶数.因此，从bc，c，cu/a为不定方程x2+y=2？的一组正整数解，可令be=h(2st),c=h(-),或者be=k(s2-t),c=k(2st).由此可求出6的两个取值为，或者是-6b=0=_24(4)2st同理，从ad，d，dv/b为不定方程x2+y2=的一组正整数解，亦可求出a的两个取值为，或者m2-n22mn(5)0=m2-n2mn其中m，n为任意正整数，但要求m和n互素，m>n，并且m和n中一个为奇数而另一个为偶数，最后验证上述(4)和(5)分别给出的b和a的值即为丢番图问题的全部正有理数解.事实上，由（4）得到6+1-(5)，或者()52-2)2st由此推出a262+a=a2(62+1)也是一个有理数的平方.同理，由(5)得到α +1=（），或者()2mm-n也可推知a262+62=62(a2+1)也是-个有理数的平方，所以，丢27
数学的100个基本问题番图问题的全部正有理解数α，b可由（4和（5)给出.注意到从（4）和（5）给出的a，6之值本质上是相同的，故丢番图问题的全部正有理数解为下述形式的任意两个数：营2st，其中s,t为任意正整数，但要求s和t互素，s>t并且s和t中一个为奇数面另一个为偶数取s=2和=1，则（s2=（2)/(2st）=3/4再取s=4和t=3则（s2-t2)(2st）=7/24.这就是丢番图本人给出的-组正有理数解.通过对s，t取其他的正整数，也可得到丢番图问题的另外一些正有理解数.总之，丢番图问题有无穷多解在结束本问题之前，提及一个丢番图的趣事.虽然丢番图是古希腊最伟大的数学家之一，他所写的13卷巨著《算术》在历史上影响之大可与欧几里得的《几何原本》相媲美，但目前对其生平事迹所知甚少即使是丢番图的生卒年代也只能靠一些古籍上的记载推测为公元前150年到公元364年之间，比较可信的说法是他的活跃时期大概是公元250年前后，有趣的是，有关丢番图的生平流传下来的却是他那别具一格的墓志铭，据说镌刻着这样的话：“上帝赐给他生命的1/6为童年：再过生命的1/12，他的双颊上长出了胡子；又过了生命的1/7，他举行了婚礼；婚后的第5年天赐贵子唤，这个不幸的儿子只活了他父亲整个生命的一半年纪就被死神带走了，从此他以研究算术来寄托哀思，但在4年之后也离开了人世.“这个奇特的墓志铭暗示了丢番图享年84岁，细心的读者不妨自己验算一下1指数为3的费马大定理化证明方程+=23没有正整数解大约在1637年左右，费马在研读古希腊数学家丢番图的《算28
一、算术问题术》一书时，对其中有关不定方程x?+y=的正整数解的讨论产生了兴趣.费马可能在想：既然某些平方数能够写成两个平方数之和，例如5°=32+4或132=5+122，那么什么样的立方数也能写成两个立方数之和呢？经过仔细地思考和计算，费马就在该书的空白处写下了一段著名的话：“把一个数的立方分成另外两个数的立方和，把一个数的四次方分成另外两个数的四次方的和，或一般地，把一个数的高于2的任何次方分成两个数的同次方之和是不可能的.我已经发现了这定理的一个真正奇妙的证明，但书上空白的地方太小，写不下”换句话说，费马宣称自己证明了方程"+y"=2当n>2时不存在正整数解，在17世纪，数论几乎是费马一个人的天下，他以其天才的直觉做出了许多大胆的推测，但也提出过两个定理在1640年10月18日给朋友的一封信中，费马提到了一个基本结果：设p为素数，为任意整数，则p整除a-a.后人把这个结论称为费马小定理，而把费马关于x+=的断言称为费马大定理，或称为费马最后定理，令人遗憾的是，人们从未找到费马所宣称的那个奇妙的证明，而且在费马以后的许多大数学家，包括欧拉、勒让德、高斯、狄利克雷、库默，柯西等，都在试图证明费马大定理的一般情形时没有成功.这一方面使得费马大定理更加著称于世，但另一方面也使人对费马本人究竞是否严格和完整地证明了这个定理产生了怀疑.事实上，费马使用他发明的“无限下降法”的确证明了n=4时方程x+=没有正整数解，很可能他以为仿此就可以得到一般情形的证明.当然，这只是人们的一种猜测.也有人认为或许费马真的找到了一个美妙的证明，故意秘而不宣，但现在看来，这种可能性不大，欧拉在1770年发表了他对n=3情形的证明，即欧拉证明了x+=没有正整数解.欧拉的这个证明十分复杂，而且从现代29
数学的100个基本问题的观点看并不严格.后来，高斯给出了一个简化证明，用到了所谓“复整数”的理论，其中包含了全新的思想，对以后的数论发展产生了深远影响，下面将完整地介绍高斯的这个堪称数学精品的美妙证明，但为了使读者能更好地阅读和欣赏它，我们按现代的观点做了一些补充和改写高斯的证明思想是这样的：首先，不难看出方程x3+3=z3没有正整数解的断言等价于说方程+=没有xy*0的整数解.其次，高斯发现在整数集合中讨论方程x3+3=的解时会遇到许多复杂性，但如果允许把整数的概念扩充成更为一般的“复整数”，在一个比整数集合更大的复整数集合中来研究该方程的解时，就会使问题大为简化.高斯的成功又一次验证了数学中这样一个信念：通过把所研究的问题尽可能地一般化，就会发现证明一个一般性的命题往往要比证明一个特殊的命题更为容易现在讨论高斯引进的复整数概念.设@=（-1+V-3）/2为一个3次本原单位根，即1.@，?为方程x=1的全部根，不难验证1++2=0.对任意整数a.b.高斯考虑所有形如a+b的复数，称之为复整数，注意到(a+b)±(a'+b'w)=(a+a)+(b±b')@(a+bo)(a'+bw)=aa'+(ab'+ba')w+bb2= aa+(ab+ba')@+bb'(-1 -)=（aa-bb)+(ab"-bb"+ba)w,表明两个复整数相加、相减与相乘后仍然得到复整数.我们记所有复整数的集合为z［],即【wl=la+bla，bEz1，则z［]对加法、减法和乘法三种运算封闭.显然C意【].所以，如果能够证明方程x+y=在复整数集合【]中没有非零的解，则该方程在整数集合Z中也没有非零的解，为此目的，先得仔细地考察【]中的算术理论，特别是要把通常在整数集合中的一些相关概念推广到复整数集合中来，分以下几步进行：30