81幂级数一般项为幂函数a,(x-x)"的函数项级数称为幂级数这是一类最简单的函数项级数.幂级数在级数理论中有看特殊的地位。在函数逼近和近似计算中有重要应用，特别是函数的幂级数展开为研究非初等函数提供了有力的工具一、幂级数的收敛区间二、幂级数的性质三、幂级数的运算巡回后页前页
前页 后页 返回 §1 幂 级 数 一般项为幂函数 的函数项级数称 为幂级数, 这是一类最简单的函数项级数. 幂级 数在级数理论中有着特殊的地位, 在函数逼近 和近似计算中有重要应用, 特别是函数的幂级 数展开为研究非初等函数提供了有力的工具. 返回 三、幂级数的运算 一、幂级数的收敛区间 二、幂级数的性质
一、幂级数的收敛区问幂级数的一般形式为￥a a,(x- x,)" =a, +a,(x- x,)+a,(x- x,)+Ln=0(1)+a,(x- x,)" +L ,为方便起见，下面将重点讨论 X, = 0 ，即￥(2)a a,x"=a, +a,x+a,x +L +a,x"+Ln=0的情形. 因为只要把(2)中的x换成 x - X, 就得到(1)后贡巡回前页
前页 后页 返回 一、幂级数的收敛区间 幂级数的一般形式为 为方便起见, 下面将重点讨论 , 即 的情形.因为只要把(2)中的 换成 就得到(1)
首先讨论幂级数(2)的收敛性问题.显然形如(2)的任意一个幂级数在X二0 处总是收敛的.除此之外，它还在哪些点收敛？我们有下面重要的定理定理14. 1 (阿贝耳定理) 若幂级数(2)在 X=x 1 0收敛,则对满足不等式1x<x[的任何x，幂级数(2)收敛而且绝对收效; 若幂级数(2)在x =x 时发散则对满足不等式1 x> x1 的任何 X,幂级数(2)发散,返回后贡前页
前页 后页 返回 首先讨论幂级数(2)的收敛性问题. 显然形如(2)的任 意一个幂级数在 处总是收敛的. 除此之外, 它 还在哪些点收敛? 我们有下面重要的定理. 定理14.1 (阿贝耳定理) 若幂级数(2)在 则对满足不等式 的任何 ,幂级数 (2)收敛而且绝对收敛;若幂级数(2)在 时发散, 式 的任何 ,幂级数(2)发散
证 设级数a a,x"收敛,从而数列(a,x"}收敛于零n=0且有界，即存在某正数 M，使得Ia,x"<M (n =0,1,2,L ).对任意一个满足不等式|x<|x|的x，设x<1,x则有ntxa,x"x< Mr"Ia,x"一x"x由于级数a Mr" 收效,故由优级数判别法知 幂级数n=0后贡回前页
前页 后页 返回 且有界, 即存在某正数 M, 使得 则有 由于级数 收敛, 故由优级数判别法知幂级数 证
(2)当[ x<x 时绝对收敛,下面证明定理的第二部分. 设幂级数(2)在X =x 时发散, 如果存在一个Xo,满足不等式1 X, [>x[, 且使￥级数a a,x"收敛, 则由定理得第一部分知,幂级数n=0(2)应该在x =x 时绝对收效,与假设矛盾. 所以对一切满足不等式1 x>xI的x,幂级数(2)都发散注由定理14.1知道：幂级数(2)的收敛域是以原点为中心的区间！这是非常好的性质.若以2R表示区巡回后贡前页
前页 后页 返回 (2)当 时绝对收敛. 下面证明定理的第二部分. 设幂级数(2)在 时 发散, 如果存在一个 , 满足不等式 , 且使 级数 收敛, 则由定理得第一部分知, 幂级数 (2)应该在 时绝对收敛, 与假设矛盾. 所以对一 切满足不等式 幂级数(2)都发散. 注 由定理14.1知道: 幂级数(2)的收敛域是以原点 为中心的区间！这是非常好的性质.若以2R表示区