S1 一致收敛性对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有看重要的地位一、函数列及其一致收敛性二、函数项级数及其一致收敛性三、函数项级数的一致收敛判别法邀回后页前页
前页 后页 返回 §1 一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法 返回 对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位. 一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性
一、函数列及其一致收敛性设(1)fi,f2,L, fn,L是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列.(1)也可记为(f,}或 f,, n=1,2,L .以 x,I E 代入(1),可得数列(2)fi(x,), f(x),L , f,(x,),L.后贡巡回前页
前页 后页 返回 一、函数列及其一致收敛性 设 是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E 上的函数列. (1) 也可记为 以 代入 (1), 可得数列
如果数列(2)收效, 则称函数列(1)在点 X,收致,X称为函数列(1)的收敛点.如果数列(2)发散，则称函数列(1)在点 X 发散. 当函数列(1)在数集 DI E上每一点都收敛时,就称(1)在数集D上收敛.这时D上每一点x都有数列(f,(x)的一个极限值与之相对应,根据这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列(1)的极限函数．若将此极限函数记作f,则有lim f,(x)= f(x), xI Dn??返回前页后页
前页 后页 返回 如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 收敛, 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数 列(1)在点 发散. 当函数列(1)在数集 上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每 一点 都有数列 的一个极限值与之相对应 , 根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数 列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
或f,(x)? f(x) (n ? ￥),xi D函数列极限的e -N定义: 对每一固定的xI D,任给正数 e,总存在正数N(注意: 一般锐来N值与 e 和X的值都有关,所以有时也用N(e,x)表示三者之向的依赖关系), 使当 n> N时, 总有I f,(x)- f(x)<e.使函数列f,收敛的全体收敛点集合，称为函数列（,的收敛域巡回前页后页
前页 后页 返回 或 函数列极限的 定义: 对每一固定的 , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间 的依赖关系), 使当 时, 总有 使函数列 收敛的全体收敛点集合, 称为函数列 的收敛域
例1 设 f,(x)= x",n =1,2,L 为定义在(-,） 的函数列,证明它的收敛域是(-1,1], 且有极限函数i0, 1x<1,f(x)=ii 1, x =1.证 任给e >0 (不妨设e<1),当 0<| x<1时,由于 f,(x)- f(x)/=I x" l,Ine当 n> N(e,x)时,就有只要取 N(e,x)In|x|I f,(x)- f(x)x"x=e.后贡巡回前页
前页 后页 返回 例1 上的 函数列, 证明它的收敛域是 , 且有极限函数 证