一、算术问题中的重要地位虽然18世纪的数学家们已经猜想出素数定理的内容，但它的严格证明却远远超出了那个时代的数学发展水平，直到1848年，俄国伟大的数学家切比雪夫（Tchebycheff，1821-1894）在该问题的研究上首先获得了突破，切比雪夫不仅是位非常多才的数学家，而且对用初等方法解决超级难题具有罕见的特长，通过引人切比雪夫不等式，并使用了一系列巧妙而初等的不等式估值技巧，终于证明了对于足够大的x，成立0.9213(α)1.1055,x/lnx并且切比雪夫还证明了：如果（#)在在x一→8明确有极限的话，则x/nx该极限值必为1.随后，许多数学家对切比雪夫给出的不等式进行了不断地改进,但都没能证明im()=1,以至于怀疑该极限到ax/lnx底是否真的存在，特别一提的是英国数学家西尔外斯特（Sylvester，1814-1897)在1881年曾说：“要想证明素数定理，我们或许还要等待世界上产生这样的一个人，他的智慧和洞察力就像切比雪夫一样，证明自己是超人一等的，”到了1896年，法国数学家阿达马（Hadamard，1865-1963）通过对黎曼猜想以及复变函数中整函数理论所作的深刻研究，终于证明了素数定理.另外，比利时数学家瓦莱·布桑（ValleePoussin，1866-1962）几乎在同一时期也独立地得到了素数定理的证明.这项工作被看成是19世纪解析数论中最伟大的成就，另一方面，阿达马和瓦莱·布桑关于素数定理的证明过于艰深，尤其是用到了黎曼函数+1131(z) =)=1+233-in（见问题092）在z=1时没有零点这一深刻的事实.所以，在随后的21
数学的100个基本问赔研究中，人们对这个证明还不甚满意，希望能找到一种较为初等的证明方法，虽然美国数学家维纳（NorbertWiener1894－1964）曾给出过素数定理的一个简化证明，但他所用的方法并不初等.经过许多次失败的尝试后，许多人对素数定理是否存在一个初等的证明表示了怀疑.特别是英国数论大师哈代（Hardy，1877－1947）在1921年一次数学会议上发表演讲时曾说：“如果谁给出了素数定理的初等证明，那他就证明了我们现在关于数论中的许多见解是错误的，从而到了该丢掉一些著作并且要重写理论的时候了，”他认为素数定理的初等证明是根本不存在的，美国著名的科普作家阿西莫夫在总结科学研究的方法论时，曾幽默地提出了三条“定律”，他的第一定律说：“如果一个科学权威断言某件事情是不可能的，那他的观点往往很可能是错误的，”有趣的是，在哈代身上正好应验了阿西莫夫的这条定律.28年后，挪威32岁的青年数学家塞尔伯格（AtleSelberg，1917-）和匈牙利另一位青年数学家埃尔多斯（PaulErdos，1913-1996)同时用初等方法独立地给出了素数定理的证明.值得指出的是：塞尔伯格还因其对黎曼猜想所作的深刻研究在1950年荣获费尔兹奖至此，有关素数定理的证明似乎应该结束了，但故事还没有完.因为塞尔伯格和埃尔多斯对素数定理的证明虽然初等，却过于繁杂和长，不符合数学家的审美标准，又过了30多年，克莱瓦尔在1982年发现了个更为简单和巧妙的证明.他的证明过程只是短短的几页，也只涉及复变函数中的一些初等事实.现在的问题是数学家会对这个证明十分满意吗？毕竞克莱瓦尔的证明对高中生来说仍非易事，考虑到现代数学的不断发展以及数学家们的精益求精，我们有理由期待在不久的将来，人们会找到素数定理的一个更为简洁的直观的证明.当然，这个证明最好只用到一些简单的微积分知识，以便高中生和大学低年级学生都能够加以品味和欣赏/22
一、算术问题们与为股定理有关的一个数论问题求方程x+2=2的全部正整数解，勾股定理是中学就已经学过的一个平面几何的基本定理，距今已有几千年的历史了，它断言在每个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，在我国古代数学名著《周算经》里，曾记载了数学家商高回答周公提出的一些有关数的问题，丛中可以看出商高已经知晓了勾股定理的内容和它的证明，所以勾股定理在我国学术界又称为商高定理.另外，古代的巴比伦人、埃及人和印度人也都掌握了这个定理的一些特殊情况，但只有古希腊的毕达哥拉斯学派在公元前400年左右才使用比例和相似三角形理论给出了一般形式的证明，国外数学界也因此称勾股定理为毕达哥拉斯定理，勾股定理的得名是这样的：在我国古代把直角三角形称为“勾股形”，把直角三角形中较小的直角边称为“勾”，另外个直角边称为“股”，剩下的斜边称为“玄”.古人还总结出了“勾三股四玄五”的说法，指的是边长分别为3，4，5的三角形不仅是直角三角形，而且三条边的长度还满足关系式32+42=52目前发现的有关勾股定理的证明大约有400多种，大多初等而巧妙.在此不拟介绍勾股定理的证明，而是要详细地探讨与它相关的一个基本问题：除了上述的3，4,5以外，还有哪些正整数x，y.z也能作为直角三角形的三条边，即满足x+y=呢？换句话说，就是要求出不定方程2+=的全部正整数解.在历史上这是一个相当有名的问题.事实上，费马正是由于对该问题做了深人的思考后提出了著名的费马大定理（见问题013).300多年来，这一大定理吸引了无数的数学家为之呕心沥血，通过对它的研究不仅丰富了代数数论的内容，而且极大地推动了代数数论的发展.下面将求出不定方程+=的全部正整数解，先作两点23
数学的100个基本问题观察：(1)设x和y的最大公因子为d.则可令x=dxo和y=dyo，此时xo和yo的最大公因子为1,亦即xo和yo互素，所求方程变为d（x+y）=22.因为两边均为正整数，故得d2整除22,等价于说d整除z.这表明d是z的一个因子，又可令z=dzo从而+=z.由此可知x2+2=22的全部正整数解（x，y，z)形如（dxo，dyodzo），其中xo和yo互素.所以，一旦求出方程x+y=2的满足x和互素的所有正整数解，则扩大任意一个正整数倍数后即得该方程的全部正整数解.以下不假设x和互素，(2)在假定×和y互素的情形下，和y不能都是偶数，否则2即为它们的一个公因子.注意到每个奇数可表为2k+1，而（2k+1)2=4k2+4k+1表明奇数的平方总是除4余1.如果x和均为奇数，则z2=×2+除4后的余数为2，但此时的z必为偶数，而每个偶数的平方都是4的倍数，此矛盾表明×和也不能都是奇数，所以，x和只能是一个奇数和一个偶数.以下不妨设x为偶数而为奇数总之，在求不定方程x+=？的全部正整数解时，做了以上两个简化：既要求x和互素，又要求x是偶数而是奇数.显然z也只能是奇数，故z-y和z+y都是偶数.设z+y=2u，z-y=2，则y=u=u，以及z=u+.由此表明u和也只能是一个奇数和一个偶数，并且y和z的最大公因子等于u和的最大公因子再从和y互素可知和z也互素，从而u和也互素.又(号)-()"-()-号=u22可见u和的乘积u为平方数，只有u和本身都是平方数.令u三α2，v=62.则α和b也是互素的正整数，一个为奇数而另一个为偶数，且从u>可知a>b.最后，从（兰==2解出x=24
联一、算术问题2ab,以及y=u-=a?-b2,z=u+w=a2+b2.反之，对任意两个正整数a和b，如果满足三个条件：a和b中一个为奇数而另一个为偶数，a和b的最大公因子为1,并且a>b.则不难验证2ab和a?-b2也互素.事实上，假设k为2ab和a2=62的最大公因子，因为（2ab）2+（a2-62)2=（a2+62)2,所以k整除a2+b2从而k也整除（a2-62）+（a2+b2）=2a2以及（a2+62）-（a2-62)=262.注意到a和b中一个为奇数而另一个为偶数，表明k为奇数，所以k同时整除a2和62.再由假设a和b1互素可知α2和62也互素，只有k=1,可见2ab和a?-62的确是两个互素的正整数，至此，在x和y互素且x为偶数而为奇数的条件下，求出方程x+=2的全部正整数解为x=2ab,y=@?-62,z=a2+62其中a，b为互素的正整数，一个为奇数而另一个为偶数，且a>b.因为在x和互素时，已经知道x和y必然是个为奇数而另一个为偶数，所以当x为奇数而为偶数时，根据对称性可知方程2+y2=z2的全部正整数解为x=a2-b2,y=2ab,z=a?+62.其中a,b为互素的正整数，一个为奇数而另一个为偶数，且α>b.最后，把上述讨论的结果总结如下：不定方程+=的全部正整数解为x=k(2ab),y=k(a2_b2),z=k(a2+b2),或者x=h(a2-b2),y=k(2ab),z=h(a2+b2),其中k，a，b为任意正整数，但要求a和b互素，a>b并且a和b中一个为奇数而另一个为偶数有了以上通解公式，就可以得到+=的许多具体的解25