数学的100个基本问题6232和6368、10744和10856、12285和14595、17296和18416、63020和76084、66928和66992、67095和71145、69615和87633、79750和88730.在这13对亲和数中，要么是偶数对，要么是奇数对，没有一奇一偶的数对，而且偶数对比较多，在这13对中奇数对只有3对亲和数对的一般性质我们知道得极少，更没有什么公式可使我们依照它来求得亲和数.现在求亲和数的方法是用计算机.用计算机可以很容易找出亲和数，首先求出数㎡的所有真因子，将这些真因子求和.这个和记为n，然后求出数n的所有真因子，将这些真因子同样求和，如果所得的和恰好为m，则m，n为一对亲和数，否则，m，n就不是亲和数对.20世纪60年代，美国耶鲁大学的专家在IBM7094计算机上，对全部100万以下的数进行了这种检查，结果发现了42对亲和数，其中有些是过去已经知道的，也有新的.用这种方法对100万以上的数可进行同样的检查用计算机求亲和数对比过去用手工和数论技巧来发现要高效得多，但是不管检查到多大的数为止，总之是在有限数的范围内进行，最后只能知道在一定范围内亲和数的情况.大家知道数有无穷多，在无穷多个数中，全部有多少对亲和数？用计算机检查这一方法是不能解决这一问题的.所以，关于亲和数的问题是：亲和数对是有限的，还是无限的？有没有奇数和偶数构成的亲和数对？亲和数对有什么一般的性质？等等0素数的表达公式W0如果a,b为互素的整数，则算术序列an+b中包含无限个素数，虽然在问题004中已经了解到费马数F,=22"+1不能总给出素数.甚至也无法证明在所有的费马数中存在无穷多个素数，但人们还是热衷于寻找一个公式【为了便于计算，最好是某个多项式16
一、算术问题n）)，希望它总能给出素数，或者退一步讲，至少从它能得到无穷多个素数.历史上，人们的确找到了许多有趣的多项式，它们甚至能连续地给出一些素数，但遗撼的是在大多数情形下，却无法证明这些多项式能给出无穷多个素数，欧拉给出了一个二次多项式（n）=n2-n+17，当n=0,1，"，16时，不难验证（n）均为素数.注意到f(n)=n(n-1)+17=(-n)(-n+1)+17=f(-n+1),所以，F(-15),（-14)，,F(-1)也都是素数.由此表明，当n连续地取遍从-15到16之间的32个整数时，相应的多项式f（n）=n2-n+17的值均能给出素数.这种由多项式连续地给出素数的现象令人十分惊奇，自然就产生了一个有趣的问题：一个二次多项式究竞能连续地给出多少个素数呢？经过不解的努力和寻找，欧拉终于在1772年又发现了一个非常著名的二次多项式f(n）=n2+n+41.当n依次从0取到39时，f（n）的这40个函数值也都是素数.同样该多项式也具有下述性质：f(n)=n(n+1)+41=(- n)(-n-1)+41= f(- n-1).所以，当n依次取从-40到-1之间的40个整数时，相应的多项式f(n）之值也均为素数.换言之，该多项式f（n）对n的连续80个取值（从-40直到39）都能给出素数！另外，也有人不喜欢n取负整数，而希望n取非负整数0,1,2.….为此，只需把n=x-40代人到该多项式即得(x 40)=(x-40)(x39) + 41 = x2 79x +1601,这样，当×从0依次取到79时，多项式g（x）=x2-79x+1601的相应取值均为素数不可思议的是，继欧拉之后，人们再也找不到其他的二次多项式an2+bn+c.它对n的某些连续80个以上的取值都能给出素数.在许多次失败的尝试后，人们基至猜想：没有一个二次多项式17
数学的100个基本问题能满足这样的性质，它对相继80个以上的函数值均为素数.这当然是一个相当困难的问题，要想在近期内证明这一猜想，希望十分渺范.但对欧拉发现的著名多项式n2+n+41而言，在1967年有人证明：如果多项式n2+n+a对n=0,1,，a-2全部给出素数，则a≤41.这也算是差强人意了，现在—般地考虑正次数多项式f（n）=amn"+…+ain+ao有两个自然的问题：对某些特殊选取的整数a;（1)该多项式能否总给出素数？（2)该多项式能否给出无限个素数？问题（1)的答案是否定的，事实上，如果某个多项式f（n）在n等于某个正整数s时给出素数p，即f(s）=p，则对任意整数k，不难看出f(s+kp）=f(s）+p(）可被p整除.所以，当假设f（n）的值总是素数时，就有f(s+kp）=f(s）=p.由此表明，多项式f(x+s）-f(s）有无穷多个不同的根x=kp，但这是不可能的，因为一个m次多项式最多只有m个根（见问题041）相比之下，问题（2）的解答则要困难得多.如果希望多项式f(n)=amn"+...+ain+ao能给出无限多个素数，一个必要条件是它的各项系数ao，，am的最大公因子为1，高斯称这类多项式为本原多项式.不难看出，该必要条件并不充分，例如多项式f（n）=n2+n=n（n+1）对n的每个整数取值均为偶数，也就是说，它只能给出一个素数2.事实上，对许多次数大于1的多项式，例如n2+1，人们猜测它们能给出无穷多个素数.虽然看起来该猜想应该是正确的，但至今仍然无法证明令人欣慰的是，对于一次多项式an+b，如果系数a和b为互素的整数，亦即a和b的最大公因子为1,则当n取遍正整数时，1an+b|中的确包含了无穷多个素数.这个非凡的定理是由高斯的学生狄利克雷（Dirichlet，18051859）在1837年首先证明的18
一、算术问题素数定理1设x为正实数，从0到x之间的素数个数记为π（x），则lim (a) - 1.*x/lnx自从公元前300年的欧几里得时代以来，素数的研究一直是数论的核心问题.既然欧几里得已经证明了有无穷多个素数，人们自然想知道素数序列2,3,5，，，在正整数序列1,2,3，，n，中是如何分布的.特别是，对于给定的区间[4，61如何判定其中是否存在素数？如果该区间确实包含素数的话，又该怎样计算区间[a，b]中所含素数的个数呢？从理论到应用都表明这是一个最为基本的问题，对任意正实数x，记元（x）为小于或等于×的素数的个数，即元（x）为区间[0，x]中所含的素数的个数.如果能够找到计算元（x）的有效方法，则区间a，]中的素数的个数就能精确地估计出来事实上，当a本身不是素数时，[a，b]中的素数个数恰为元（b）-元（a）；而当a本身为素数时，则[a，b]中的素数个数就等于元（b）一元（α）+1.所以，为了研究素数在正整数中的分布情形，特别是想估计素数在正整数中分布的稀疏程度或者增长速度，问题就归结为研究这个神秘的数论函数元（x）.最初，人们期望元（x）最好能有一个公式，一个便于计算和分析的表达式.这主要是受19世纪以前函数概念的束缚，当时的数学家普遍认为每个函数均有一个表示公式法国数学家勒让德(Legendre，1752-1833）曾证明元（x）不存在有理的表达式，亦即元（×）不是一个有理函数.在很长一段时期内他致力于寻找元（x）可能存在的其他表达式，但最终不得不予以放奔，既然寻求元（x）表示公式的希望如此渺范，迫使人们意识到这样的表示公式或许就根本不存在.于是，数学家们不得不改变初衷，转而寻求元（x）的一个好的逼近，即寻找这样一个函数，它和元（x）的取值非常地接19
数学的100个基本问题近，从而能大体上告诉我们有关元（x）的一些基本信息，特别是在区间[0,]中素数的个数大致有多少高斯在十四或十五岁时，通过对3000000以内的一切素数做d在取值上了大量的统计和分析,推测出元（s)和积分函数,是非常接近的，这里的对数函数lnt是自然对数，亦即其底数为自1然常数e=2.71828.但美中不足的是积分函数dt较难计2Int算，而且没有显然的表示公式，人们自然想用一个更为简单的函数来替代它.高斯后来发现LdiJ,Intlim-=1,x/Inx于是，欧拉、勒让德、高斯以及其他数学家都猜测lm (a =1.*ax/lnx换句话说，他们猜想x/nx应该是素数函数元（x）的个好的逼近，亦即元（x）的取值可以用x/lnx的取值来近似.随着x的不断增大，x/Inx越来越接近元（x），这相当于说它们的比值越来越接近于1.这就是所谓的素数定理.时至今日，仍然不十分清楚少年高斯究竞是如何通过分析大量的数据而提出上述逼近公式的，要知道那个年代并没有计算机，一切的计算只能靠手工进行.我们除了对高斯卓越的计算天才深感钦佩外，也对这种“实验数学"的研究风格十分推崇.因为能从自然现象或实验数据中直接发现新的数学定理，往往是最具有原创性的成果，必将对数学的进一步发展产生深刻的影响.素数定理就是这样一个不可多得的数学定理，事实上，从它的最初发现直到100多年以后的完整证明.基至到1982年克莱瓦尔（Korevaar)得到的最为简化的证明过程，200多年来人们关于素数定理所作的大量深人而细致的研究，更加显示了素数定理在整个数论乃至数学20