一、算术问题几个F。人们得到了它的因子分解，例如Fz：(2)对有些F。目前仅知其为合数，但尚未找到任何一个素因子，如F14;（3)对大部分已知的费马数F,也只是发现了部分素因子，如Fg，Fro，等等，令人惊奇的是费马数不仅仅是一些神秘的大数，而且出现在另外的数学领域中.例如，高斯在1801年证明：~个正n边形可用直尺与圆规画出当且仅当n要么是2的方幂，要么具有形式n=2*piP2"pr，其中k>0且p:恰好是两两不同的费马素数.关于尺规作图的详细说明可参看后面的问题065.另外，在近年来的数字信号处理中也用到了费马数，梅森叔9是否有无穷多个形如2-1的素数？梅森数是指形如2P_1的数，其中p为素数.如果2P-1还是个素数，则称为梅森素数.梅森素数问题是指：什么样的素数p给出梅森素数？梅森素数总共有有限多个，还是无穷多个？这些问题迄今都没解决，形如2"_1（n>1是正整数）的数，当n是合数时，一定不是素数.事实上，设n=k（k≥2,1≥2)，则2#-1=24-1=（2h）=1=（2*-1)[（2*）1-1+（2*）1-2++2*+1]是合数.这表明对于形如2"-1（n>1是正整数）的数，只需讨论n是素数的情形，即梅森数，用M，表示数2P-1.那么梅森数是素数还是合数呢？数学家很早就发现，当p=2.3.5，7时，梅森数都是素数.但当P=11时，梅森数不是素数，因为，M=2~1=2047=23×89.所以梅森数有的是合数有的是素数.数学家对寻找梅森素数倾注了极大的热情，付出了许多艰苦的劳动.在用计算机寻找梅森素数之前，数学家们发现了12个梅森素数.这12个梅森素数最大的一个是Mi27.这是个巨大的数，它有39位数字！M127=17014118346046923173168730371588410572711
数学的100个基本问题要证明这个39位数是素数，其中的数学智慧和辛勤劳动，让现代人也不得不敬佩，随着素数的值的增大，梅森数增大的速度非常快.当P较大时，如果不借助于计算机，完全用计算技巧和数论功夫，要判断梅森数是否是素数，是一件很不容易的事，梅森素数的寻找过程可分为两个阶段：1952年之前的手工计算阶段和1952年之后的计算机辅助阶段.第一阶段的12个梅森素数对应的p值分别为：2.3.5.7.13.17,19,31.61,89,107.127.其中第八个梅森素数M3是1750年瑞士数学家欧拉证明的.1876年法国数学家罗卡斯（Lucas）证明了Mi27是素数.1952~1992年的40年间利用计算机得到20个梅森素数.它们对应的p值分别为：521.607.1279.2203.2281.3217.4253.4423.9689.9941.1121319937.21701.23209.44497,86243,110503,132049216091,756839从这些p值可以看出，相邻的两个p值的差越来越大，就是说梅森素数越来越稀少.但是梅森素数是否只有有限多个，这还是一个未解决的数论难题，虽然现在总共发现了32个梅森素数，俱是后面的这些梅森素数已经相当巨大.我们可以很容易地把它们的位数计算出来.事实上.梅森素数M,=2-1的位数和2的位数是相同的.因为如果2P的位数比M，的位数大的话.注意到2=M，+1,则M，=9999.这与M。是素数相矛盾.设梅森素数M，也就是2P为n位数.则2=a·10-1.其中1≤a<10.两端取常用对数得plg2=lga+n1,把1移到等式的左面得plg2+1=lga+n.由于1≤a<10，根据对数的性质得0≤lga<1.可见n为plg2+1的整数部分.下面取1g2的近似值0.30103，估计几个梅森素数的位数，(1) M127.p=127plg2+1=127×0.30103+1=39.23081，所以梅森素数M127是个39位数，(2) M4497*12
一、算术问题p=44497,plg2+[=44497×0.30103+1=13395.93193,所以梅森素数M4497是个13395位数(3) M 56839.p=756839,plg2+1=756839×0.30103+1=227832.24417.所以梅森素数M756839是个227832位数梅森（M.Mersenne，1588-1648）是法国人.他曾与数学家笛卡尔（R.Descartes，1596-1650）一起研究数学.1617年因笛卡尔加入了奥朗日的莫里斯亲王的军队，梅森进了教会，他对科学所做的主要贡献有两方面，一是他为了捍卫科学真理做了很多工作教会对伽利略的科学思想坚决排斥，他却翻译伽利略的著作，以实际行动拥护这些科学思想.二是他充当了科学家们交流思想的联络员角色.科学家们的新思想首先写信给梅森，然后梅森再写信给其他的科学家.这样科学家们通过梅森把自己的科学思想介绍了出去，相互之间进行了交流.梅森深感这种交流的重要，因此不断策动别人参加由于这种通信，他因此对许多学者的工作有了了解.他向他们提供建议.在这方面的一个典型例子是，他向惠更斯（ChristianHuygens，1629-1695）建议用单摆来作为时计.梅森是在和伽利略的通信交往中了解到单摆原理的，他又在和惠更斯的通信中了解到了惠更斯的研究，而向他提出了这个建议.惠更斯采用了这个建议，结果发明了钟摆式时计.这个事例说明.进行科学思想交流的重要性，完全数W存在奇完全数吗？a，b为两个正整数，如果一个数a整除数b，则称a为b的一个因子.如果还有a<b，则称a为b的一个真因子，如果一个数的所有真因子的和等于这个数，则称这个数为完全数.13
数学的100个基本问题最小的完全数是66=1+2+3.下一个是28，28=1+2+4+7+14.再下~个是496，496=1+2+4+8+16+31+62+124+248.总共有多少完全数呢？这个问题至今还是个谜.截至今日只知道32个完全数，他们都是偶数完全数的讨论在古希腊时代就开始了，古希腊的毕达哥拉斯学派就讨论过完全数.在欧几里得（约公元前300年）《原本》的第九卷有一个命题是关于完全数的.这个命题说：如果2″-1是素数，则2-1（2"-1）是一个完全数.这个命题不难证明.事实上，记=2"-1,2-1(2"-1)=2=1k，由于k是素数，则2-1(2"-1)的全部因子（包括自身）为1,222，….，2-1，k，2k，22k，，2"-1k.他们的和为1+2+2*+**+2*-+k+2k+22k+***+2-"k=(2"- 1)(k + 1)=(2°-1)2"=2-2#-1(2" -1),因此，全部真因子的和为2"-1（2"-1).可见24-1(2"-1)是一个完全数.在问题005中曾讨论过，如果n是合数，则2”-1也是合数，由此可见，只有当p为素数，且2P=1是素数时，2#-1(2P-1)才是一个完全数.而这时2P1是梅森素数.所以每一个梅森素数，对应一个完全数.上面提到的3个完全数是前3个梅森素数Mz=22-1,M=23-1,Ms=25-1给出的,6=2(22-1),28=22(23-1)496=24(25-1).偶完全数除了这种形式之外，还有没有别的形式？在欧几里得时代两千年以后的18世纪，著名数学家欧拉证明，如果一个偶数是完全数，则它一定具有2P-（2P1）这样的形式，这里p，2P-1均为素数.也就是说欧几里得给出了偶完全数的惟一的表达式，关于完全数这一奇妙的数论问题，现在遗留的问题是：有没有奇完全数？至今没有发现一个奇完全数，也没有从理论上证明其14
算术问题存在性，关于这一问题的研究，虽然没有获得最终的解决，但是也得到了一些有价值的结论.欧拉证明，如果n为奇完全数，则n=pgiq，其中p，q1,"qk是不同的素数，并且a=p=1（mod4)，b1，，b,均为偶数.1973年得到的结论是：如果n为奇完全数，则1 <In2.n>100.1978 年的结论是：如果 n 为奇完全数,则,克1980年的结论是：如果n为奇完全数，则n至少有8个不同的素因子107亲和叔V是否有无穷多对亲和数？什么是亲和数呢？亲和数是这样一对正整数α和b，使得a的所有真因子的和等于6而b的所有真因子的和等于a.亲和数问题最早曾被毕达哥拉斯学派研究过，他们给出了第对亲和数：284和220.284=22×71,284的所有真因子为1,2.4，71.142.和为1+2+4+71+142=220.220=22×5×11.其全部真因子为1,24,51011202244,55,110，和为1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284.后来的两千年内虽然对亲和数的研究有过有意义的工作，但是一直没有发现新的亲和数.难道亲和数对是惟一的？这一问题由于1636年费马给出另一对亲和数：17296和18416才有了答案，1638年笛卡尔给出了第三对亲和数对亲和数作过研究的另一位著名数学家是欧拉.他在1747年前后给出了一个62对亲和数的亲和数表，令人意想不到的是1866年一位意大利16岁的少年帕格尼尼(Paganini)发现了一对比较小的亲和数：1184和1210如果把亲和数对按从小到大的顺序排列的话，那么这位少年发现的这对亲和数排在第二位.目前已经知道有1000多对亲和数，而在10000以内只有5对，在100000以内有13对，它们是：220和284、1184和1210、2620和2924、5020和5564、15