数学的100个基本问题先求a，b，c.因为a被5和7整除，故a为5×7=35的倍数，简单的计算可知当α取70时即满足=1（mod3）.同理，b既是3×7=21的倍数，又被5除余1.取6=21即可.类似地，c可取为15.所以2a+3b+2c=2×70+3×21+2×15=233.除以105后得余数为23，这就是所求的最小正整数解。由此不难看出，求解原同余方程组的关键是先从上述三个分别被3,5和7对应的特殊同余方程组依次求出a=70,b=21和c=15,然后再除以105得到余数即为最小正整数解.为了便于记忆，我国明代的数学家程大位（1533-1606）在其60岁时完成的数学杰作《算法统宗》一书里，把上述“物不知数”问题的解法编写成以下四句口决“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知.”其中第一句暗示3对应的数为70.第二句指的是5对应的数为21，第三句里的整半月表示数15，暗含着7对应的数为15：至此就能得到同余方程组的一个解2×70+3×21+2×15=233最后一句意为把所得到的一个解233除以105（即百零五），所得的余数23即为所求的最小正整数解，上述“物不知数”问题的解法实际上也给出了求解一般同余方程组的方法.在初等数论书中提到的中国剩余定理为：设m1，"，m为两两互素的正整数，a1，，a为任意整数，则同余方程组[x=ai(modm,)xa2(modm2)x=a;(modmz)总有整数解，并且它的全部解可模仿上述方法得到.为了便于表述，对任意正整数i，j，介绍一个常用的函数8g，称为Kronecker符号，它是由德国数学家克罗内克（L.Kronecker，1823－1891）首先引入的Kronecker符号的定义很简单：如果i=j，则u=l；而如果i丰j，则8g=0.使用该符号，即可给出上述一般同余方程组的求解6
招一算术问题过程，分以下两步完成：（1)对每个1≤i≤k，先求出正整数b.满足b=（modm），即所求的b.满足条件：b；除以m余1,但被每个m（j+i）整除.其求法如下：记Ti=m"mi-1mi+1"m，根据条件ml."，m两两互素，可知r和m也互素索，故存在整数c和d,使得rc+mid=1.令bi=r;ci，则对每个j+i，相应的m,显然整除bi，并且b,=1（modm）由此表明b，即为所求。-(2)对(1)中所求的bi，令xo=）Sabi，则xoa,b,=a:（modm）这说明xo为上述同余方程组的一个解，从而所有的解可表示为x=xo+nlmi-其中的n可以取遍所有的整数，最后，介绍一下在交换代数这门优美的学科中提及到的中国剩余定理.假定读者已经学过近世代数，特别是了解交换环、理想以及素理想、环的直积等基本概念，粗略地讲，有单位元的交换环R是整数环z的推广，R中的理想则是z中一个数m的所有倍数的集合mz的一种模拟，两个整数互素的关系对应到两个理想1和J上即为1+J=R.总之，在整数环2中有关整除、同余、素数、互素、公因子和公倍数、最大公因子和最小公倍数等基本概念都可相应地推广到有单位元的交换环R中.篇幅所限，就不仔细地加以展开了，只给出下述中国剩余定理最一般化的推广形式：设R为有单位元的交换环，I，，I，为环R的理想，并且当i+j时，l;+1=R.则有典范的环同构R/(,n..nI.)=R/l,xxR/l.,其中环同构由映射a+l,nn-(a+l,a+2,a+l)给出.7
数学的100个基本问题读者也许感到这个中国剩余定理过于抽象，离原先的那个只涉及整除和余数的剩余定理相距甚远，但这就是数学的特点.为了看清一个具体数学问题的本质，数学家们往往把该问题所涉及的数学结构抽象出来，在最为一般的观点上寻求和发展解决该问题的普遍方法和技术，这样做的好处是：人们不仅能解决一大批同类的问题，而且更为重要的是能发现许多表面上完全不同的问题在结构上的相同或相似性，为相关理论的产生奠定了基础，牛吃草问题W假设a头牛把b块草地里的牧草在c天内吃完，而a'头牛把b'块草地里的牧草在c'天内吃完，并且a"头牛把b"块草地里的牧草在天内吃完，试问这9个数量之间有何关系这是英国大数学家牛顿（1.Newton，1642-1727）在1707年提出的个著名的算术问题，其中假定了在每块草地上一开始都有相等数量的牧草，而且它每天长草的速度相同，以及每头牛每天吃的牧草数量也相等.下面给出该问题的解答。假设每块草地上最初的牧草数量均为x，每块地每日长草的速度为y，每头牛每天吃草的数量为.于是6块地上最初的牧草数量为bx，在c天内增加的牧草数量为cby，而a头牛在c天内一共吃完的牧草数量为caz.于是，得到了第一个方程(1)bx + cby = caz.同样的分析可得到另外两个方程(2)b'x+e'b'y=c'a'z,(3)b"x+c"b"y=ca"z.现在，把x，y看做未知变量，从方程（1)和方程（2)解出x=(ab'-ba")z(bca"-b'ca)zbb'(c-e)y=bb(c-c)再代人方程（3)中，两边消去z后再同乘bb（c-c）即可变为8
一、算术问题b"cc'(ab"-ba')+c"b"(bea"-b'ca)=c"a"bb'(c"-c),这就是所求的关系式，特别地，这9个数量中的每一个均可由其他的8个数量惟一确定，费马数当n=0,1,2,3，时22”+1总是素数吗？法国著名数学家费马（PierredeFermat，1601-1665）的职业是律师，但他知识渊博，在语言学方面造谐颇深，精通法语、意大利语、西班牙语、拉丁语、希腊语，数学只是他的业余爱好.虽然他只能在闲暇思考和研究数学，却取得了惊人的成就，被誉为“业余数学之王”他特别喜爱数论，曾提出过许多猜想，最著名的大概就是费马大定理了，另外，他还对微积分和概率论的创立做出了重要的贡献，这个问题是费马在1640年给梅森（M.Mersenne，1588-1648）的信中宜布的一个猜想，当时的背景是这样的：虽然欧几里得在公元前300年已经证明了素数有无穷多个，但素数的分布究竞有什么规律仍然是一个谜特别地，人们致力于寻找这样一个公式n）.使得当n取遍所有的正整数时.J（n）总能给出素数.现在，为了纪念费马，人们记F，=22+1，称F为费马数.通过简单的手算可知前5个费马数分别为：Fo=22° +1=2'+1=3.F,=22' +I=22+1=5.F2=22+1=2++1=17F,=22+1=28+1=257.F4=22+1=216+1=65537.它们的确都是素数！费马由此推测所有的F，也将都是素数，因9
数学的100个基本问题此他相信自己已经解决了那个古老的问题，即找到了一个总能给出素数的公式F。.他承认自已不能证明这个猜想，后来他又对这个猜想的正确性表示了怀疑到了1732年，大数学家欧拉（Euler1707=1783）终于发现下一个费马数F，不是素数，从而否定了费马的猜想.事实上，欧拉找到了它的一个素因子641，并且Fs= 22 +1 = 232 + 1 = 4294967297= 641× 6700417按理说，费马数的研究应该到此为止了，但出人预料的是不少人仍然对它情有独钟.继欧拉之后，人们希望找到费马数为素数的情形，但奇怪的是至今还没有发现一个新的费马素数，也就是说除了上述已知的五个费马数Fo，F，F2，F3，F4为素数外，再也没有证明其他的某个F，为素数，当然，困难在于这些费马数F随着n的递增会变得越来越大，超出了现代计算机所能处理的范围。人们猜测也许只有有限个F，为素数，但目前这一猜想仍然无法证明另一方面，人们却发现了近50个费马数是合数.例如，1880年兰德里（Landry）发现F.为合数，有一个素因子为274177.莫海德（Morehead）与外斯滕（Westem）分别在1905年和1909年证明了F7和F也是合数，但F，的因子分解直到1971年才完成，而F的全部素因子也是在1981年使用计算机才得到的对费马数的理论研究也取得了一些有价值的结果，可以证明费马数具有以下性质：（1)F，为素数当且仅当F。整除3(Fa-1D)/2+1:(2)当n>1时，F。的每个素因子必然形如2"+2h+1,其中k为正整数；(3)如果p为素数且p2整除F%，则p2也整除2P-1-1.另外，有人猜测每个费马数F，均无平方因子，但该猜想至今仍未得到解决，总而言之，目前对费马数的研究分成了三种情形：（1)对少数10