K(x) f(n(2) (n+1) 所以R(x)=K(x)0On+1(x) f(m(2) n+1 (n+ 称Rn(x)为插值多项式P(x)的余项(截断误差) 定理1.设f(x)在区间ab上n+阶可微,P(x)为(x)在[a,b上的 n次插值多项式插值节点为x}=oc[a,b则vx∈[a,b有 R,(x)f(s) 1(x) n+ Lagrange型余项 其中on1(x)=1(x-x),5∈(a,b),且依赖于x i=0
( 1)! ( ) ( ) ( 1) + = + n f K x n x ( ) ( ) ( ) 1 R x K x x n = wn+ ( ) ( 1)! ( ) 1 ( 1) x n f n n + + + = w x 所以 称R (x)为插值多项式P (x)的余项(截断误差) n n 定理1. 次插值多项式 插值节点为 则 有 设 在区间 上 阶可微 为 在 上的 , { } [ , ], [ , ], ( ) [ , ] 1 , ( ) ( ) [ , ] n x 0 a b x a b f x a b n P x f x a b n i i n Ì " Î + = R (x) n ( ) ( 1)! ( ) 1 ( 1) x n f n n + + + = w x ( ) ( ) , 0 1 Õ= + = - n i n i 其中 w x x x x Î(a,b) , 且依赖于x. Lagrange型余项
设 n+1 max b Nn1=On1(x)∏(x-x) (n+1 则R(x) O n+1 X n+ 1 (n+1)!+1
max| ( )| ( 1) 1 M f x n a x b n + £ £ + = | ( )|| ( )| 0 1 1 Õ= + = + = - n i n n i N w x x x 设 则 |Rn (x)| ( ) ( 1)! ( ) 1 ( 1) x n f n n + + + = w x 1 1 ( 1)! 1 + + + £ Mn Nn n