解令f(）=D，易见对尝1.2，…" n-1,f)=0,即(-1),,(-n +1)是f(）的因子且它们互质，故II（r-i)是f(r）的因子，比较z"-1的系数知f(a)r-D2（5）分解行列法若行列式的某行（列）是两行（列)的和，将行列式分解为两个行列式的和例计算ll+airi2+a2rin+anti1+a1z2+a2zn+an2D,1+aitn2+a23n+antn解将行列式D，分解为若干行列式的和，易见当n>2时，每个行列式至少有两列成比例，故D，=0，当n=2时，直接计算得211+aizi2+a2a2r1aiatD2(11-2)(2ar-a2)2I1+ai22+a22a112a2x2当n=1时，Di=1+a1±1.（6）变换元素法令a1lα12a12+al,a11+Talna22a+Fa22+1a21a2a2m+DD,an1al不难证明，Di=D+2A.是a的代数余子式4i.js例计算la1Ta2D.解从D，的每个元素减去得000Aat00.0az -1D=000于是D,=(ai-)...(an+r) ..(ai-1-)(ai+i-x).(an-)=6
=z(ar-r).-(a.ZQ1-本题也可用消去变换法及递推公式法解，（7）加行加列法在行列式中加一行加一列再计算行列式，例计算1112t2Arix2rf解考虑1122Cn2122D=t.)(r令f(）=D，（-1)+3△是f(）中的系数，由等式右边知的系数是(-1)"-()()（-)，故. =(-1)+3 (-1)"-[()( -)[()()（8）拉普拉斯（Laplace)展开法运用公式ID=M,A,+M2A2++M,A来计算行列式的值例计算21-10001...110001.yi-1yi22-10001.32D=0J2-100..3y221-1000100103%-1.yn解取第1，3，…，2n-1行，第1，3，”"，2n-1列展开得7
ytiy2Ly2T(, -I,)( -)Di<y112,y.（9）乘法变换法例设S=+++k=0,1,，2n-2.TE1计算SoS1Su-IStS2S..D=Sa-1S.S2#-2-解>D-1-272h~..T.-1-11..11-11Tir1a2In.22-1-2rxr2.= r,)2(r.2ai2（10）综合法例计算0QQ300bta3a.4+D,0b203b1an1610b2b3..bn-1解将第n行n列元素0写为a-an，再分解行列得8
000a2a2a3a.-1a,a3an-1b00bt0.+.(t 3an-1ara3an-1Drb2b3000b1.atb1b2b3..b1b2b3...bx-1bb2b3anbn-1..a第·-个行列式从最后行起每行减前一行得：0a2a3++:an-1an..0bi00-a2Da=+ (-1)2"( an)D-10000an-)000...bu-10=(-1)"+a,bib2"-bu-1 + (-a.)Du-1=(- 1)"+/a,b1b2**-bu-1 + (- a,)[(- 1)"an-1br"-bn-2 - an-1Du-2]=(-1)"+l(anbr".bu-1 +asan-1bi*.bu-2 +...+ anan-1"a2b1).4.行列式的应用（1）解线性方程组（2）求矩阵的秩（3）判断向量的相关性（4）求矩阵的特征值解二、题1.1 计算3214+.n2123012231D=2.1-237tn721解从第n行起每行减去前一行，然后在每列上加上第一列，得2341...1345nn+172111-11100000一1D1-1-1120000.111111222029
00001210002200= (- 1)#+1(n + 1)2#-2=(- 1)a+1(n + 1)..222..211.2计算baRbaD2,=bab1ba解按第1，2n行和第1，2m列展开，得la6l[. D2n-2 = (a2 ~ 62)D2m-2 =(a2 -b3)3D2m-4 = . = (α2 - 62)"D2.-16al1.3计算..aoaa2an-1.aoa1an-1a-2D=a1a2a3+ao解考惠11.11e1..Er△= D.er-11en-1...2k元2k元isin1≤≤n-1，是n次单位根，我们有其中.三COSnn22os2s2..aE2a肉!Saje(t)+i+.4Za:Za,ei*-1Nae- ..aetr10