11E1aaeae2=01=01ETI(于是D=Cae)(eo = 1)1.4计算0aita2ai+an0a2 + ai.a2+an=as+ai..ag+a2as+an0an+aian+a2解将加边得△11a1+*+a2an0△Ai=0:10将第（i≥2)行分别减去第一行，得1ai...a,a2-1.- a1a1ai-1A=AI=..a202a2-1anana再加边得00010...01aia2ar1".-a1ata1a*-4=-1..22a2-2a21ana,ana.将(j≥3)列减去第一列，得11
10111.01..a1a2an12a10.0a1A1002a2..Ia200-2a#a.1将第3，4，n+2列各乘以后都加到第一列，将第3，4，…，n+2列分别乘以2111一后都加到第二列，得2a12a22a11-号- 1-12培n21-2al+..an2A=(-2)"aja2001-04-2a1...-a2200020a 2)2 -=(2)"-2a102*1.5设B=（a）×，M是D=|B|的k阶子式，A是M的代数余子式，D'是B的伴随矩阵的行列式，M是D中与M相对应的子式，证明：M=D-IA.证明（1）设M位于D的左上角，此时AnA21AtlA12A22At2-++M"IAlkA2hA令I表示n一k阶单位矩阵，令AnArl0..AlkARR4则△=M*Al+1Ak+11A1%Arn..于是12
Daik+2alxQ1h+1D4D'A.DM* = DAUkn-a+ak+1nQk+1$+2+1+10..anQmk+2若D≠0，显然M=D1A.我们用（B）表示矩阵B的秩.若D=0且r（B）<n-1，D的每个元素为0，故M"=0=D*-1A，若r（B）=n-1，则B的伴随矩阵的秩=1.若M的阶数≥2，则M=0，故M*=D-1A.若M"的阶数为1，显然M"=A，故M"=Dt-1A (Dt-1=D"=1).（2）M不在D的左上角：此时可通过互换行和列把M移到左上角化为情况（1）.注意在D中互换两行（列），则D*中发生同样的变化，且D中所有的元素变号，）),Y=(y1，y2,"，yn）求证1.6设D=lalaxn，X=(r112,X1= Dz-D1 =ryA其中A，为D中元素a,的代数余子式，证将Di按最后一列展开a12alnQ11a21a22Q3ga31a32a3n(-1)D, =(- 1)n+2+Tagnan2Q.aann!anzyny1y2Jny1y2alna12a11+ Dz.+(- 1)2n +an-12anyiy2Yn上式第—项=（-1)"+2 t【y（-1)n+1A +（-1)+2y2（-A2）+… +1(- 1)2"y,(-1)"+1A1n=CriyAlj=同理可得含文，的项为wyAu,1=2,,n1于是D,=D-ayA,ia13
1.7证明：D=alnx，的代数余子式之和等于11..1a22-a12a21-ana2nainDr =a12.a3α31011a32~alxania11an2a122nna百等科岁证因an+ra12 +1-ain+ta2i +rQ22 +...a2n+zD吃an2+r+工an1+rann取2=1，则a+1a12+1aln+1a12214a21+ 1a22+ 1a2m+1a21422+ 1am+1an2an2对右边每个行列式的第一行乘（一1)加到其余各行，得a+1a12 + 1...ain+1a21a1Q22-012a2mainA.an-auan2a12anna1n.a11aina12a11a22-a12azn-ain221= DI.-a1a2-α12-Q1nanlar1.8若行列式的所有元素都加上同一个数，则这个行列式所有元素的代数余子式之和不变，证由1.7题知，an+a12+tain+a21+aa22+ra2n++3Q#2+3ann的代数余子式之和等于14
11LFQ11α12a1an2若行列式的某一行元素都等于1，则行列式等于它的所有代数余子式之和1.9证不妨设111-111-11-111a21a.22a22-a2a21a2nD则0D11aula2折a2na.A=0,故D1但D=D1.10若行列式D=「as|,×的每行元素的和及每列元素的和都等于0，则各元素的代数余子式都相等证Q21..a2na2j-1a2j+1At, = (-- 1)1+0nlan-1anj+1将各列加到第一列，得-a2ja22α2j1a2j+1a2Ay =(-1)Itjα#2anj-1ari+10将第一列换到第j列有A1,=（-1)2+/(-1)/-2A1=A11同理可证，A,=Ai=2，…，n.类似地可证A的第一列各元素的代数余子式A,=A11即A，=An对任意的i、成立1.11设入是一个未定元，X=（r1，r2，"，工），「表示单位矩阵，证明：-1.其中n≥2，det(A)表示 A 的行列式，det(aI - x') = a" -(=1证入一-3132TiXn入-x23231F2TD.=det(aI-xx')=入-x2rT1215