第一章行列式本章主要研究行列式的性质和计算方法，通过典型例题的解答介绍行列式的几种计算方法，并给出一系列重要习题的详细解法，一、基本概念和重要结果1.行列式的定义行列式有各种不同的定义方法，为了更加深刻地理解行列式的性质和学习行列式的计算方法，特别是处理一些有关行列式的证明题，我们在这里介绍行列式的三种定义，它们在不同的情况下有不同的作用，通常第一种定义方法更为常用，但第二种和第三种定义在某些证明题中有意义.设A是一个n阶方阵，A的行列式通常用IA|表示（1）我们用（s152s）表示数码1，2，*，n的任一排列，用t（siS2"*s）表示排列（s152""s）的反序数，则n阶行列式定义如下：a1na11Q12a21a2na22E (-1)r6,s"a,a2s,"-am.('2"an12n2（2）行列式的归纳法定义：-阶行列式[aul=ali-5a11a12二阶行列式aa22a12a21a21Q22若n-1阶行列式已经定义，则n阶行列式allα12a1,a21a22a2=a1Au+a12A12+"+a1A1nanianan2其中A1是元素a1的代数余子式（3）一个n阶行列式可以看为n2个数的函数，或者看为n个向量的函数，例如将行列式中第列用表示，则定义（1)中的行列式就可记为（z1，2，…，x）。因此一个行列式可以看为2个数的函数，它满足下面的三个条件：a.f(1, z2,,kx,",w)=kf(r,a2,,,)., rw)+f(ai, , y, , In).b.f(ri,..",r,+yi,，T,)=f(T,Ti1
c.f(ai,ai, a,,, )=-f(r,",a,,a,,,r,)不难证明上述三个定义是等价的，为方便计有时我们也用la,|×表示n阶行列式，或简记为lal.2.行列式的性质(1) 令[a1Q12ain...a22a21a2nAA表示A的转置，tanian2则|A|=[AL.(2)a11a12a1rkai2kainkail=kIAI.-an2annanl(3)..a1lα12a1na11a12aina1zQ11ain+binai2+bi2".ain+ainb,2ailaiz.bi1b,tain..an2anlaanan2an1Qnan2(4)a11a12α1naα12ai1alnailai2ainajlaj2airayaj2ajra:laa2
(5)...allα12alnain+ka,iai2 + kaj2an+kajnIAI.aj2.+ajnajianlan2.anm(6).Q12a1nai1kajnkaj2ka;10.ajnajlaj2EBEanlQa2anAI.Y=i,(7)aA;0,kti.(8）IA/M,A,+M2A2++M,A，M，M2，"，M,是IA|中某行元素的k阶子式，A，是M，的代数余子式，(9）若aj=-aj，n为奇数，则IAl=0.(10)00a11:0a22a21anlan2an3.行列式的计算（1）提公因子法例计算fo(z1)fo(12)fo(su)fi(z1)fi(α2)fi(t,)-Dfu-1(ri)1(r)fu-1(tn)fa-其中f()解择D的第一行有公因子α00，从第一行提出公因子αo，将第一行的-α11倍加到第
二行、从第二行提出公因子α10将第一行乘一α22，第二行乘一a21一起加到第三行，从第三行提出α20、依次作下去，最后将第一行、第二行、…、第n1行分别乘以-an-11一起加到第n行，从第n行提出公因子an-10得..an-1n-25an-1-1,1113132TnHaoD=Iao I (r-r)io1=021-1~1a1（2）消去变换法例计算123r2r1n-1D =1233-137解从第二行开始每行乘一1加到前行，然后令右下角的1=工+（1一），将行列式表为两个行列式之和，得2由2由由1111..11x10111-10011 .1-rD000112...1T3xr11...10111.11a3101".100111-{1.-r0010100111-r-二00000001-xI...1a..α1-.r3TTXrI=(1 -r)" + (-1)*1" =(-1)"[( -1)"- r].（第二个行列式的每列减去最后一列).（3）降阶递推法1) 若 D,= pD,-1,则 D,= Pn-1D1:2）若D,=D,-1+QD，-2，>2、0.我们可以设α、β是2—-9=0的根，则α+β=，-=，于是有(1)D,-βDa-1 = α(Du-1 - βD,-2),(2)D, - αDn-1 = β(Dn-1 - αDn-2),α"-1(D2-βD,) -β"-1(D2αD,)若α≠β，则D，α-β4
注意由(1)和(2)得D,-βD-1=α"-2(D2-βD1),D,-αD-1 = β"-2(D2-αD1).若α=β,则(1)与(2)变为DαD,-1=α(D-1-αD,-2),即D,-αD,-1=α"-2(DzαD,)，于是D,-1 -αD.-2 = α"-3(D2-αD1),D, = αa°D-2 + 2α-2(D2 - αD1),依次作下去得D,= α"-ID + (n- 1)a"-2(D2 - αD,),例计算000cab00000b（三对角线行列式）D.001000bCD,=cD,-1-baD,-2，设α，β是α2-cr+ba=0的根，则解c +2- 4ab2-4abCB=t22若2=4ab0，则α≠β、于是D, = a"-(D, - PD,) - gr-(D, - aD)P易算得DzβD,=α2D2-αD,=β，所以g"+1 -pn+1_ (c +Vc-4ab)n+1 -(c--4ab)+)D, =α-p2n+1/2-4ab若c2=4ab，则α=β，D, = Q"-1D + (n - 1)αn-2(D2 ~ αD,) = (n+ 1)（4）分离线性因子法把行列式看成含其中的一个或多个字母的多项式，变换它，若发现它可被一些线性因子所整除且这些线性因子互质，则它可被这些因子的积整除，例计算32...1n31r+1"n2D =1r+1.n231r+15