第八章第二节数量积向量积*混合积一、两向量的数量积二、两向量的向量积*三、向量的混合积HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动自录上页下页
*三、向量的混合积 第二节 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第八章
两向量的数量积一、市引例设一物体在常力 F作用下，沿与力夹角为0位移为，则力F所做的功为的直线移动，W =|F 3|cos 01.定义6M,MS设向量a,b的夹角为0,称记作a.b[alb|cos 0W=F.s为a与b的数量积(点积)HIGH EDUCATION PRESS返回结束机动目录上页下页
M1 一、两向量的数量积 沿与力夹角为 的直线移动, W = 1. 定义 设向量 的夹角为 ,称 记作 数量积 (点积) . 引例. 设一物体在常力 F 作用下, 位移为 s , 则力F 所做的功为 F s cos W F s = M 2 a b 为a与b的 a , b s 机动 目录 上页 下页 返回 结束
当a≠o时,b在a上的投影为Prjab = |b|cos06TO故文a.b=aPrjaba同理,当b±0时a.b=bPrjsaa±0,b+02. 性质则a.b=0() a.a=la2则有(2）α,b为两个非零向量,元a.b=0alba,b)一12HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录
b 在 a 上的投影为 故 同 理 ,当 0 时, b 2. 性质 为两个非零向量, 则有 b a Prj b a b = a b a Prj (1) a a = (2) a ,b a b = 0 ⊥ 则 a b = 0 a 0 , b 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.运算律a.b-b.a(1）交换律6a结合律（α,μ为实数）(2)(a+b)(aa).b=a.(ab)=a(a.b)C(aa)·(μb) =a(a.(μb))Prjc a Prj.b=μ(a.b)Prjc(a+b)(3）分配律(a+b).c=a.c+b.c事实上,当= 时,显然成立；当→0时(a+b) =|Prj(a+b)=|cl(Prja+Prj)=|Prjea+Prjb =a. +b.cHIGH EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束机动
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 a ( b) ( a ) ( b ) = ( a ( b ) ) = ( a b ) (3) 分配律 事实上, 当 c = 0 时, 显然成立 ; 当c 0时 c ( a + b ) b a bc a Prj c Prj ( a + b ) c ( a b ) c = c Prj + = c ( a b ) c c Prj + Prj a c = c Prj b c + c Prj = a c + b c Prj ( a b ) c + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.证明三角形余弦定理c2 = α2+b2 _2abcos0-6证：如图.设9CB=a, CA=b, AB=c则c=a-baB(a-b)=a.a +b.b-2a.b2=(a-b) (=+-2cosa=|l,b=|b],c=|,2 =α2+b2-2abcos0HIGH EDUCATION PRESS上页下页返回结束机动自录
A B C a b c 例1. 证明三角形余弦定理 2 cos 2 2 2 c = a + b − a b 证: 则 2 cos 2 2 2 c = a + b − a b 如图 . 设 C B = a , C A = b , AB = c = 2 c ( a − b ) ( a − b ) = a a + b b − 2 a b 2 = a 2 + b − 2 a b cos a = a , b = b , c = c 机动 目录 上页 下页 返回 结束