根据三重积分的计算法 OR 2(x,D)OR dzjdxdy z z(x,y)dz =∫xy,z(x,y-x,y,a(x,ya小 rey 根据曲面积分的计算法 手R(x,y,z)d=』Rdd+』Rdd+』Rd小 ∑ 2 3 II RIx, y, z(x, y)ldxdy+Rx, y, z2(x, y))dxdy+0 D D OR Jb=∫R(x,y) K心
根据三重积分的计算法 dz dxdy z R dv z R Dxy z x y z x y = { } ( , ) ( , ) 2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} . = 2 − 1 Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy 根据曲面积分的计算法 ( , , ) , 1 2 3 R x y z dxdy = Rdxdy + Rdxdy + Rdxdy = − Dxy R[x, y,z (x, y)]dxdy 1 + Dxy R[x, y,z (x, y)]dxdy 2 + 0 ( , , ) . = dv R x y z dxdy z R
同理,Ω={(x,y,列)y1(x,z)≤y≤y2(x,,(x,x)∈Dx} 0 dv=日 oddi Q ∑ C2={(x,y,z)|x1(,z)≤xsx2(,z),(yz)∈D1z OP dv=h Pdvd ax Q ∑ 三式相加得, OP 00 OR Ox ay az )db= ff Prydz+d+Rdh小 ∑ (2)当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个 时,引进辅助曲面分成多个(1)中的区域,可得结论 K心
同理, {( , , )| ( , ) ( , ),( , ) } 1 2 Dxz = x y z y x z y y x z x z , = dv Qdzdx y Q {( , , )| ( , ) ( , ),( , ) } 1 2 Dyz = x y z x y z x x y z y z , = dv Pdydz x P 三式相加得, ( ) . = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P (2)当平行于坐标轴的直线与边界曲面的交点多于两个 时,引进辅助曲面分成多个(1)中的区域，可得结论
注意: (1)Gaus公式的实质:表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 (2)GauS公式可用来简化某些曲面积分的计算. (3)不是封闭曲面时,添加辅助面后可用Gaus公式 (4)使用 Gauss公式时应考虑:P,Q,R是对什么变量求偏 导,是否有连续偏导,是否是闭曲面的外侧 如果是闭曲面的内侧,则在三重积分号前添“-”号! (5)可用曲面积分计算空间区域的体积:0 小y OI OI =3+yh+小=xh=y K心
注意: (1) Gauss公式的实质：表达了空间闭区域上的三重积分 与其边界曲面上的曲面积分之间的关系. (2) Gauss公式可用来简化某些曲面积分的计算. (3) 不是封闭曲面时, 添加辅助面后可用Gauss公式. (4) 使用Gauss公式时应考虑: P,Q,R是对什么变量求偏 导, 是否有连续偏导, 是否是闭曲面的外侧. 如果是闭曲面的内侧, 则在三重积分号前添“−”号! (5) 可用曲面积分计算空间区域的体积: V = xdydz + ydzdx + zdxdy 3 1 = xdydz or = ydzdx or = zdxdy or
erl计算∫y(x-2)dd+x2+(y2+x)tcd 其中Σ是第一卦限内边长为a的正方体表面并取外侧 Solution.记Σ所围的区域为g,利用Gaus公式,有 原式= aP 80 aR X OL )dv ox a Q ∫j(y+x)tdt 0-000(y+x)dz K心
Solution. 记所围的区域为, 利用Gauss公式，有 + + = dv z R y Q x P 原 式 ( ) = ( y + x)dxdydz = + a a a dx dy y x dz 0 0 0 ( ) . 4 = a 1. ( ) ( ) , 2 2 ex 计算 y x − z dydz + x dzdx + y + xz dxdy 其中是第一卦限内边长为a的正方体表面并取外侧