f(lx1+(1-1)x3)￡1f(x)+(1-1)f(x3), 所以f为I上的凸函数 同理可证f为I上的凸函数的充要条件是：对于 I中的任意三点x1<x2<x3,有 fs,)fxεfs)-f)Efx)-f).(4④ X2-X1 X3-1 x3-X2 注（④）式与()式是等价的.所以有些课本将(4)式 作为凸函数的定义.（参见下图)
前页 后页 返回 所以 f 为 I 上的凸函数. 同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于 注 (4) 式与 (1) 式是等价的. 所以有些课本将 (4) 式 作为凸函数的定义. ( 参见下图 )
fx fx) f(x) 詹森(Jensen,J.L.1859-1925,丹麦) 前页
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对于凹函数，请读者自行写出相应的定理 由数学归纳法不难证明：f为I上的凸函数充要 条件是：任给x1,Lxn1I,0<1<1,i=1,2,0n, 11+12+L+1n=1,必有 f(I+L+1x)1f(x)+L+1nf(x). 这是著名的詹森不等式.特别取1，=，则 )+f()+L 01n 前页
前页 后页 返回 对于凹函数，请读者自行写出相应的定理. 这是著名的詹森不等式 . 由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要
即： f (5) i-1 0 n i-1 (⑤)式是凸函数最常用的不等式」 下面举例说明凸函数的内在性质： 例1设f为开区间(a,b)上的凸函数，那么它在 (a,b)中每一点的左、右导数存在.特别是在(a,b) 上处处连续 证对于任意的x1(a,b)0<h<h,使 前页
前页 后页 返回 (5) 式是凸函数最常用的不等式 . 即： 例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在 下面举例说明凸函数的内在性质. 证 上处处连续. (a, b) 中每一点的左、右导数存在. 特别是在 (a,b)
xo<xo+h<xo+h<b, 由引理得到 fx。+)fx)￡f(+)-fx) h h 令F=f+fx）,则r在0，b.) h 上递增.取x(a,b),xe<xo,由引理又得 f)-fx9￡fx+m-f）,hi0,b-x) xo-xe h
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