揭阳职业技术学院：《高等数学》课程授课教案.pdf_P21-P25

《高等数学》教案教学步骤及内容：第一节多元函数的基本概念一、平面点集n维空间1.平面点集由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个直角坐标系后，平面上的点P与有序二元实数组(s,y)之间就建立了一一对应。于是，我们常把有序实数组(x,J)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面二元的序实数组(x,y)的全体，即R2-RxR=(x,y)x,yeR)就表示坐标平面）坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，记作E=(x,J)I(x,J)具有性质P)例如，平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是C=((x, )lx2+y2<r2)如果我们以点P表示(x,y)，以OPI表示点P到原点O的距离，那么集合C可表成C=(PIOP<r).邻域：设Po(xo,yo)是xOy平面上的一个点，提某一正数。与点Po(xo,Jyo)距离小于的点P(x,J)的全体，称为点Po的邻域，记为U(Po,)，即U(Po,8)=(PIPPok8) 或U(P,8)=((x, y)/ /(x-xo) +(y-yo)2 <8)邻域的几何意义：U(Po,)表示xOy平面上以点Po(xo,yo)为中心、>0为半径的圆的内部的点P(x,y)的全体点Po的去心邻域，记作U(Po,)，即U(Po,0)=(P|0PPK8)注：如果不需要强调邻域的半径8，则用U(Po)表示点Po的某个邻域，点P。的去心邻域记作U(P).点与点集之间的关系：任意一点PeR2与任意一个点集ECR2之间必有以下三种关系中的一种(I)内点：如果存在点P的某一邻域U(P)，使得U(P)CE，则称P为E的内点;(2)外点：如果存在点P的某个邻域U(P),使得U(P)nE=O，则称P为E的外点;(3)边界点：如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点，则称P点为E的边点.E的边界点的全体，称为E的边界，记作EE的内点必属于E：E的外点必定不属于E：而E的边界点可能属于E.也可能不属于E聚点：如果对于任意给定的&>0，点P的去心邻域U(P,)内总有E中的点，则称P是E的聚点由聚点的定义可知，点集E的聚点P本身，可以属于E，也可能不属于E.例如，设平面点集E=((x, y)[l<r2+y*<2)满足1<x2+y<2的一切点(x,y)都是E的内点；满足x+y2=1的一切点(x,y)都是E的边界点，它们都不属于E；满足x2+y=2的一切点(x,y)也是E的边界点，它们都属于E；点集E以及它的界边aE上的一切点都是E的聚点21

《高等数学》教案 21 教学步骤及内容：第一节多元函数的基本概念一、平面点集 n 维空间 1．平面点集由平面解析几何知道 当在平面上引入了一个直角坐标系后 平面上的点 P 与有序二元实数组 (x y)之间就建立了一一对应 于是 我们常把有序实数组(x y)与平面上的点 P 视作是等同的 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面 二元的序实数组(x y)的全体 即 R2RR{(x y)|x yR}就表示坐标平面 坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合 称为平面点集 记作 E{(x y)| (x y)具有性质 P} 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C{(x y)| x 2y 2r 2} 如果我们以点 P 表示(x y) 以|OP|表示点 P 到原点 O 的距离 那么集合 C 可表成 C{P| |OP|r} 邻域 设 P0(x0 y0)是 xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点 P0(x0 y0)距离小于的点 P (x y)的全体 称为点 P0的邻域 记为 U (P0  即 ( , ) { || | } U P0   P PP0  或 ( , ) {( , )| ( ) ( ) } 2 0 2 U P0   x y xx0  y y   邻域的几何意义 U (P0 )表示 xOy 平面上以点 P0(x0 y0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点 P (x y)的全体 点 P0的去心邻域 记作 ( , ) U P0    即 ( , ) { | 0 | | } U P0   P  P0P    注 如果不需要强调邻域的半径 则用 U (P0)表示点 P0 的某个邻域 点 P0 的去心邻域记作 ( ) U P0   点与点集之间的关系 任意一点 PR2与任意一个点集 ER2之间必有以下三种关系中的一种 (1)内点 如果存在点 P 的某一邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的内点 (2)外点 如果存在点 P 的某个邻域 U(P) 使得 U(P)E 则称 P 为 E 的外点 (3)边界点 如果点 P 的任一邻域内既有属于 E 的点 也有不属于 E 的点 则称 P 点为 E 的边点 E 的边界点的全体 称为 E 的边界 记作E E 的内点必属于 E E 的外点必定不属于 E 而 E 的边界点可能属于 E 也可能不属于 E  聚点 如果对于任意给定的0 点 P 的去心邻域U(P, )  内总有 E 中的点 则称 P 是 E 的聚点 由聚点的定义可知 点集 E 的聚点 P 本身 可以属于 E 也可能不属于 E  例如 设平面点集 E{(x y)|1x 2y 22} 满足 1x 2y 22 的一切点(x y)都是 E 的内点 满足 x 2y 21 的一切点(x y)都是 E 的边界点 它们都不属于 E 满足 x 2y 22 的一切点(x y)也是 E 的边界点 它们都属于 E 点集 E 以及它的界边E 上的一切点都是 E 的聚点

《高等数学》教案开集：如果点集E的点都是内点，则称E为开集闭集：如果点集的余集E为开集，则称E为闭集.开集的例子:E=((x,)[1<r2+y2<2).闭集的例子:E=(x,y)[1≤r2+y<2)集合（(xy)/1<x2+y<2)既非开集，也非闭集连通性：如果点集E内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于E，则称E为连通集区域（或开区域：连通的开集称为区域或开区域.例如E=((x,y)|1<r+y<2)闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域.例如E=(x,y)|1<r+y<2)有界集：对于平面点集E，如果存在某一正数r，使得EcU(O,r)，其中O是坐标原点，则称E为有界点集.无界集：一个集合如果不是有界集，就称这集合为无界集.例如，集合((x,)|1<r2+y≤2)是有界闭区域；集合((x,J)x+y>1)是无界开区域；集合(x,j)/x+y21)是无界闭区域2.n维空间设n为取定的一个自然数，我们用R"表示n元有序数组(x1,x2，·.，xa)的全体所构成的集合，即R"=RxRx..-xR=(x1, X2, *.*, Xn)/ x,eR, i=1, 2, .**, n).R"中的元素(x1,x2,,xm)有时也用单个字母x来表示，即x=(x1,x2,,x)当所有的xi(i=1,2,**,n)都为零时，称这样的元素为R"中的零元，记为0或O，在解析几何中，通过直角坐标，R（或R)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应，因而R"中的元素x=(x1,x2,*.，xn)也称为R"中的一个点或一个n维向量，x称为点x的第i个坐标或n维向量x的第i个分量.特别地，R"中的零元0称为R"中的坐标原点或n维零向量为了在集合R"中的元素之间建立联系，在R"中定义线性运算如下：设x=(x1,x2,，xn),y=(yi,y2,.·,yn)为R"中任意两个元素，eR，规定X+y=(xi+y1, x2+y2,***, Xn+ yn),/x=(x1,x2,**, 2xn).这样定义了线性运算的集合R"称为n维空间.R"中点x=(x1,x2,*,x)和点y=(y1,y2,,ya)间的距离，记作p(x,)，规定p(x,y)= /(x -y)+(x-y2)+...+(x, -y,)显然，n=12,3时，上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至R"中元素x=(x,x2，，xn)与零元0之间的距离p(x,0)记作xl(在R、R2、R3中，通常将x记作(x), 即x/x+x+x采用这一记号，结合向量的线性运算，便得Ix-yl=/(x-y)+(x2-y2)2+. +(x,-y,)2 =p(x,y)在n维空间R"中定义了距离以后，就可以定义R"中变元的极限：设x=(x1,x2,,xn),a-(a1,a2,,an)eR"如果[x-a→0,则称变元x在R"中趋于固定元a，记作x-→>a显然，x>aa12a2a22

《高等数学》教案 22 开集 如果点集 E 的点都是内点 则称 E 为开集 闭集 如果点集的余集 E c为开集 则称 E 为闭集 开集的例子 E{(x y)|1<x 2y 2<2} 闭集的例子 E{(x y)|1x 2y 22} 集合{(x y)|1x 2y 22}既非开集 也非闭集 连通性 如果点集 E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于 E 则称 E 为连通集区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如 E{(x y)|1x 2y 22} 闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如 E  {(x y)|1x 2y 22} 有界集 对于平面点集 E 如果存在某一正数 r 使得 EU(O r) 其中 O 是坐标原点 则称 E 为有界点集 无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集 例如 集合{(x y)|1x 2y 22}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域 集合{(x y)| xy1}是无界闭区域 2 n 维空间设 n 为取定的一个自然数 我们用 Rn表示 n 元有序数组(x1 x2     xn)的全体所构成的集合 即 RnRR  R{(x1 x2     xn)| xiR i1 2    n} Rn中的元素(x1 x2     xn)有时也用单个字母 x 来表示 即 x(x1 x2     xn) 当所有的 xi(i1 2    n) 都为零时 称这样的元素为 Rn中的零元 记为 0 或 O  在解析几何中 通过直角坐标 R2(或 R3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应 因而 Rn中的元素 x(x1 x2     xn)也称为 Rn中的一个点或一个 n 维向量 xi称为点 x 的第 i 个坐标或 n 维向量 x 的第 i 个分量 特别地 Rn中的零元 0 称为 Rn中的坐标原点或 n 维零向量 为了在集合 Rn中的元素之间建立联系 在 Rn中定义线性运算如下 设 x(x1 x2     xn) y(y1 y2     yn)为 Rn中任意两个元素 R 规定 xy(x1 y1 x2 y2     xn yn) x(x1 x2     xn) 这样定义了线性运算的集合 Rn称为 n 维空间 Rn中点 x(x1 x2     xn)和点 y(y1 y2     yn)间的距离 记作(x y) 规定 2 2 2 2 2 1 1 ( , ) ( ) ( ) ( ) n n  x y  x  y  x  y    x  y  显然 n1 2 3 时 上述规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至 Rn中元素 x(x1 x2     xn)与零元 0 之间的距离(x 0)记作||x||(在 R1、R2、R3中 通常将||x||记作 |x|) 即 2 2 2 2 1 || || n x  x  x   x  采用这一记号 结合向量的线性运算 便得 || || ( ) ( ) ( ) ( , ) 2 2 2 2 2 1 1 x y           x y n n x y x y x y  在 n 维空间 Rn中定义了距离以后 就可以定义 Rn中变元的极限 设 x(x1 x2     xn) a(a1 a2     an)Rn  如果 ||xa||0 则称变元 x 在 Rn中趋于固定元 a 记作 xa  显然xa  x1a1 x2a2     xnan 

《高等数学》教案在R"中线性运算和距离的引入，使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念，可以方便地引入到n(nz3)维空间中来，例如,设a=(a1,a2,*，an)eR",提某一正数，则n维空间内的点集U(a,)=(xxeR",p(x,a)<o)就定义为R"中点a的邻域.以邻域为基础，可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点，以及开集、闭集、区域等一系列概念二，多元函数概念例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V=mr2h.这里，当r、h在集合(r，h)|r>0,h>0内取定一对值(r，h)时，V对应的值就随之确定例2一定量的理想气体的压强p、体积V和绝对温度T之间具有关系RTP-V其中R为常数.这里，当V、T在集合((V,)IV>0,T>0)内取定一对值(V,T)时,p的对应值就随之确定例3设R是电阻RI、R2并联后的总电阻，由电学知道，它们之间具有关系RR,R=-R+R这里，当Ri、R2在集合((Ri,R2)/Ri>0,R>0)内取定一对值(R1,R2)时,R的对应值就随之确定定义1设D是R2的一个非空子集，称映射f：D-→>R为定义在D上的二元函数，通常记为z=(x, y), (x, y)eD(或 z=/(P), PeD)其中点集D称为该函数的定义域，x称为自变量，称为因变量上述定义中，与自变量x、y的一对值(x,y)相对应的因变量=的值，也称为f在点(x,y)处的函数值，记作x)，即z=(x)值域:J(D)=(|z=/(x,y), (x,y)eD).函数的其它符号：z=(x,y),z=g(x,J)等类似地可定义三元函数u=(x,y,=),(x,y,=)eD以及三元以上的函数一般地，把定义1中的平面点集D换成n维空间R”内的点集D映射f：D一R就称为定义在D上的n元函数，通常记为1=(x, x2, ,n), (1, X2,*,Xn)D或简记为u=(x), X=(x1, X2, +*, Xn)eD,也可记为u=(P), P(x1, x2, .., xn)eD关于函数定义域的约定：在一般地讨论用算式表达的多元函数u=x)时，就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域，因而，对这类函数，它的定义域不再特别标出。例如，函数z=ln(x+y)的定义域为((x,y)x+y>0)(无界开区域);函数z=arcsin(x2+y)的定义域为（(xy)lx2+y2<1)（有界闭区域）二元函数的图形：点集(x,y,z)z=f(x,y),(x,J)eD)称为二元函数z=/(x,y)的图形，二元函数的图形是一张曲面例如z=ax+by+c是一张平面，而函数z=x2+y?的图形是旋转抛物面23

《高等数学》教案 23 在 Rn中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到 n(n3)维空间中来 例如 设 a(a1 a2     an)Rn  是某一正数 则 n 维空间内的点集 U(a ){x| x Rn  (x a)} 就定义为 Rn中点 a 的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念 二 多元函数概念例１圆柱体的体积 V 和它的底半径 r、高 h 之间具有关系 V r 2h 这里 当 r、h 在集合{(r  h) | r>0 h>0}内取定一对值(r  h)时 V 对应的值就随之确定 例 2 一定量的理想气体的压强 p、体积 V 和绝对温度 T 之间具有关系 RT P V   其中 R 为常数 这里 当 V、T 在集合{(V T) | V>0 T>0}内取定一对值(V T)时 p 的对应值就随之确定 例 3 设 R 是电阻 R1、R2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系 1 2 1 2 R R R R R    这里 当 R1、R2在集合{( R1 R2) | R1>0 R2>0}内取定一对值( R1  R2)时 R 的对应值就随之确定 定义 1 设 D 是 R2的一个非空子集 称映射 f  DR 为定义在 D 上的二元函数 通常记为 zf(x y) (x y)D (或 zf(P) PD) 其中点集 D 称为该函数的定义域 x y 称为自变量 z 称为因变量 上述定义中 与自变量 x、y 的一对值(x y)相对应的因变量 z 的值 也称为 f 在点(x y)处的函数值  记作 f(x y) 即 zf(x y) 值域 f(D){z| zf(x y) (x y)D} 函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等 类似地可定义三元函数 uf(x y z) (x y z)D 以及三元以上的函数 一般地 把定义 1 中的平面点集 D 换成 n 维空间 Rn内的点集 D 映射 f  DR 就称为定义在 D 上的 n 元函数 通常记为 uf(x1 x2     xn) (x1 x2     xn)D 或简记为 uf(x) x(x1 x2     xn)D 也可记为 uf(P) P(x1 x2     xn)D  关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数 uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如 函数 zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域) 函数 zarcsin(x 2y 2)的定义域为{(x y)|x 2y 21}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为二元函数 zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 例如 zaxbyc 是一张平面 而函数 z=x 2+y 2的图形是旋转抛物面

《高等数学》教案 24 三 多元函数的极限与一元函数的极限概念类似 如果在P(x y)P0(x0 y0)的过程中 对应的函数值f(x y)无限接近于一个确定的常数 A 则称 A 是函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 定义 2 设二元函数 f(P)f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果存在常数 A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当 ( , ) ( , ) P x y D U P0     时 都有 |f(P)A||f(x y)A| 成立 则称常数 A 为函数 f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为 f x y A x y x y   lim ( , ) ( , ) ( , ) 0 0  或 f(x y)A ((x y)(x0 y0)) 也记作 f P A P P   lim ( ) 0 或 f(P)A(PP0) 上述定义的极限也称为二重极限 例 4. 设 2 2 2 2 1 ( , ) ( )sin x y f x y x y     求证 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0)   f x y x y  证因为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | 1 0| | | |sin 1 | ( , ) 0| |( )sin x y x y x y x y f x y x y             可见 >0 取    则当      2 2 0 (x 0) (y 0)  即 P(x, y) D U(O, )    时 总有 |f(x y)0| 因此 lim ( , ) 0 ( , ) (0,0)   f x y x y  必须注意 (1)二重极限存在 是指 P 以任何方式趋于 P0时 函数都无限接近于 A (2)如果当 P 以两种不同方式趋于 P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论 函数            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在点(0 0)有无极限？提示 当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 lim ( , ) lim ( , 0) lim0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  x x f x y f x  当点 P(x y)沿 y 轴趋于点(0 0)时lim ( , ) lim (0, ) lim0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  y y f x y f y  当点 P (x y)沿直线 ykx 有

《高等数学》教案 25 2 2 2 2 2 0 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim lim k k x k x kx x y xy x y kx x y         因此 函数 f(x y)在(0 0)处无极限 极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例 5 求 x xy x y sin( ) lim ( , )(0,2)  解 y xy xy x xy x y x y     sin( ) lim sin( ) lim ( , ) (0,2) ( , ) (0,2) y xy xy (x, y) (0,2) (x, y) (0,2) lim sin( ) lim     122 四 多元函数的连续性定义 3 设二元函数 f(P)f (x y)的定义域为 D P0(x0 y0)为 D 的聚点 且 P0D  如果 lim ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y x y x y    则称函数 f (x y)在点 P0(x0 y0)连续 如果函数 f (x y)在 D 的每一点都连续 那么就称函数 f (x y)在 D 上连续 或者称 f (x y)是 D 上的连续函数 二元函数的连续性概念可相应地推广到 n 元函数 f(P)上去 例 6 设 f(x,y)sin x 证明 f(x y)是 R2上的连续函数 证设 P0(x0 y0) R2  0 由于 sin x 在 x0处连续 故0 当|xx0|时 有 |sin xsin x0| 以上述作 P0的邻域 U(P0 ) 则当 P(x y)U(P0 )时 显然 |f(x y)f(x0 y0)||sin xsin x0| 即 f(x y)sin x 在点 P0(x0 y0) 连续 由 P0的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在 R2上连续 证对于任意的 P0(x0 y0)R2  因为 lim ( , ) lim sin sin ( , ) 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y x x f x y x y x y x y x y       所以函数 f(x,y)sin x 在点 P0(x0 y0)连续 由 P0的任意性知 sin x 作为 x y 的二元函数在 R2上连续 类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义 4 设函数 f(x y)的定义域为 D P0(x0 y0)是 D 的聚点 如果函数 f(x y)在点 P0(x0 y0)不连续 则称 P0(x0 y0)为函数 f(x y)的间断点 例如：函数            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y  其定义域 DR2  O(0 0)是 D 的聚点 f(x y)当(x y)(0 0)时的极限不存在 所以点 O(0 0)是该函数的一个间断点 又如 函数 1 1 sin 2 2    x y z  其定义域为D{(x y)|x 2y 21} 圆周 C{(x y)|x 2y 21}上的点都是 D 的聚点 而 f(x y)在 C 上没有定义 当然 f(x y)在 C 上各点都不连续 所以圆周 C 上各点都是该函