揭阳职业技术学院：《高等数学》课程授课教案

《高等数学》教案d=()曲边扇形的面积为e=例4.计算阿基米德螺线p=a0(a>0)上相应于从0变到2元的一段弧与极轴所围成的图形的面积解：S-(a00--3?例5.计算心形线p=a(1+cos?)(a>0)所围成的图形的面积.解：S=2[a(1+cos0pdo=a（+2cos0+cos20)de[0+2sin0+sin20=元二、体积1.旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴常见的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球体旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线x=α、a=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体设过区间[a,b]内点x且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x)，当平面左右平移dx后，体积的增量近似为△V=(f(x)dx，于是体积元素为dV=(x)dx,旋转体的体积为(x)dx例1连接坐标原点O及点P(h.r)的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算这圆锥体的体积.解：直角三角形斜边的直线方程为y=Xh所求圆锥体的体积为V=la('d =1=-ahr2.Rh253h例2.计算由椭圆1所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体（旋转球体）的体积a2b2解：这个旋转椭球体也可以看作是由半个圆y=bya?-x?a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积元素为dV=元y2dx于是所求旋转椭球体的体积为V=,(a2 -x)d =[a2x-=mab230a例3计算由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)的一拱，直线y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转16

《高等数学》教案 16 dS   d 2 [ ( )] 2 1   曲边扇形的面积为    S   d 2 [ ( )] 2 1  例 4. 计算阿基米德螺线a (a >0)上相应于从 0 变到 2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积  解:      2 0 2 ( ) 2 1 S a d 2 2 3 0 2 3 3 4 ] 3 1[ 2 1     a  a  例 5. 计算心形线a(1cos ) (a>0) 所围成的图形的面积 解:       0 2 [ (1 cos ] 2 1 S 2 a d         0 2 cos2 ) 2 1 2cos 2 1 a ( d      2 0 2 2 3 sin2 ] 4 1 2sin 2 3  a [    a  二、体 积 1．旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体 旋转体都可以看作是由连续曲线 yf (x)、直线 xa 、ab 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转 一周而成的立体 设过区间[a b]内点 x 且垂直于 x 轴的平面左侧的旋转体的体积为 V (x) 当平面左右平移 dx 后 体积的增量近似为V[f (x)] 2dx  于是体积元素为 dV  [f (x)] 2dx  旋转体的体积为 V f x dx b a 2 [ ( )]    例 1 连接坐标原点 O 及点 P(h r)的直线、直线 xh 及 x 轴围成一个直角三角形 将它绕 x 轴 旋转构成一个底半径为 r、高为 h 的圆锥体 计算这圆锥体的体积 解: 直角三角形斜边的直线方程为 x h r y   所求圆锥体的体积为 x dx h r V h 2 0  ( )   h x h r 0 3 2 2 ] 3 1 [   2 3 1  hr  例 2 计算由椭圆 1 2 2 2 2   b y a x 所成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 2 2 a x a b y   及 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体 体积元素为 dV  y 2dx  于是所求旋转椭球体的体积为    a a a x dx a b V ( ) 2 2 2 2  a a a x x a b    ] 3 1 [ 2 3 2 2  2 3 4  ab  例 3 计算由摆线 xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线 y0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转

《高等数学》教案而成的旋转体的体积.解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为V,=J?" ydx =f"a?(1-cost)? .a(1-cos )dt=maf" (1-3cost+3cos?t-cos t)dl=5元2a3所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差，设曲线左半边为x=xi(y)、右半边为x=x2(y). 则V, =(y)dy-f"()dy= ,a2(t- sin t) asin td - a?(t-sin 1).asin tdt=-ma f2* (t - sin t) sin tdt =6元3a 3 .2.平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x轴的投影区间为[a,b],，过点x且垂直于x轴的平面与立体相截，截面面积为A(x)，则体积元素为A(x）dx，立体的体积为V= f"'A(x)dx.例4一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角α.计算这平面截圆柱所得立体的体积解：取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴。那么底圆的方程为x2+y2=R2.立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形.两个直角边分别为R?-x2及R2-x2tanα.因而截面积为(R2-x2)tanα.于是所求的立体体积为A(x) =-L(-t)mad-ma(Rx-+r-R na323例5.求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解：取底圆所在的平面为xOy平面，圆心为原点，并使x轴与正劈锥的顶平行.底圆的方程为x2+y2=R2.过x轴上的点x(-R<x<R)作垂直于x轴的平面，截正劈锥体得等腰三角形.这截面的面积为A(x)=h.y=h/R?-x2于是所求正劈锥体的体积为V='Rh/R?2-xdx=2R2hgcosed0=R*h.三、平面曲线的弧长设A,B是曲线弧上的两个端点.在弧AB上任取分点A=Mo,M,Mz，·，Mi-1，Mi,，Mn-1,Mn=B，并依次连接相邻的分点得一内接折线.当分点的数目无限增加且每个小段Mi-1M都缩向一点时，如果此折线的长ZIMi-M,I的极限存在，则称此极限为曲线弧AB的弧长，并称此曲线弧AB是可求长i=l17

《高等数学》教案 17 而成的旋转体的体积 解 所给图形绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积为   a x V y dx   2 0 2        2 0 2 2 a (1 cost) a(1 cost)dt        2 0 3 2 3 a (1 3cost 3cos t cos t)dt 5 2a 3  所给图形绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为 x=x1(y)、右半边为 x=x2(y) 则     a a y V x y dy x y dy 2 0 2 1 2 0 2 2  ( )  ( )              0 2 2 2 2 2 a (t sin t) a sin tdt a (t sin t) a sin tdt       2 0 3 2 a (t sin t) sin tdt 6 3a 3  2．平行截面面积为已知的立体的体积 设立体在 x 轴的投影区间为[a b] 过点 x 且垂直于 x 轴的平面与立体相截 截面面积为 A(x) 则 体积元素为 A(x)dx  立体的体积为 V A x dx b a ( )    例 4 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立 体的体积 解 取这平面与圆柱体的底面的交线为 x 轴 底面上过圆中心、且垂直于 x 轴的直线为 y 轴 那 么底圆的方程为 x 2 y 2R 2  立体中过点 x 且垂直于 x 轴的截面是一个直角三角形 两个直角边分别 为 2 2 R  x 及 tan 2 2 R  x  因而截面积为 ( ) tan 2 1 ( ) 2 2 A x  R  x  于是所求的立体体积为 V R x dx R R ( ) tan 2 1 2 2     tan 3 2 ] 3 1 tan [ 2 1 2 3 3 R x x R R   R   例 5 求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积 解: 取底圆所在的平面为 x O y 平面 圆心为原点 并使 x 轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为 x 2 y 2R 2  过 x轴上的点 x (R<x<R)作垂直于 x轴的平面 截正劈锥体得等腰三角形 这截面的面积为 2 2 A(x)  h  y  h R  x  于是所求正劈锥体的体积为    R R V h R x dx 2 2 R h d R h 2 2 0 2 2 2 1 2 cos         三、平面曲线的弧长 设 A B 是曲线弧上的两个端点 在弧 AB 上任取分点 AM0 M1 M2     Mi1 Mi    Mn1 MnB  并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段 Mi1Mi都缩向一点时 如 果此折线的长    n i M i M i 1 1 | |的极限存在 则称此极限为曲线弧 AB 的弧长 并称此曲线弧 AB 是可求长

《高等数学》教案的.定理光滑曲线弧是可求长的1.直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y=(x)(a≤x≤b)给出，其中(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度取横坐标x为积分变量，它的变化区间为[a,b].曲线J=/(x)上相应于[a,b]上任一小区间[x,x+dx的一段弧的长度，可以用该曲线在点(x,x)处的切线上相应的一小段的长度来近似代替，而切线上这相应的小段的长度为V(dx)2 +(dy)2 = /1 + y"2 dx,从而得弧长元素（即弧微分）ds= /1+ y"2 dx以/1+y"2dx为被积表达式，在闭区间[a,b]上作定积分，便得所求的弧长为s='/i+ y2 dx.在曲率一节中，我们已经知道弧微分的表达式为ds=/1+y?dx，这也就是弧长元素.因此例1.计算曲线y=号上相应于×从a到b的一段弧的长度.3"解：=x，从而弧长元素ds =/1+ y2 dx=1+ xdx因此，所求弧长为s=,/1+xdx=[(1+)1=2(1+b)2-(1+a)]例2.计算悬链线y=cch上介于x=-b与x=b之间一段弧的长度解：y'=sh，从而弧长元素为ds=1+sh?dx=chdx因此，所求弧长为S =[, ch三dx =2'ch三dx =2c[sh三dx]5 =2csh b2．参数方程情形设曲线弧由参数方程x=()、J=)(α≤I≤β)给出，其中(t)、()在[α,上具有连续导数.因为崇-岁,d=(0dt,所以弧长元素为dx()18

《高等数学》教案 18 的 定理 光滑曲线弧是可求长的 1．直角坐标情形 设曲线弧由直角坐标方程 yf(x) (axb) 给出 其中 f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度 取横坐标 x 为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线 yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx] 的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上 这相应的小段的长度为 dx dy y dx 2 2 2 ( )  ( )  1    从而得弧长元素(即弧微分) ds y dx 2  1    以 y dx 2 1   为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为     b a s y dx 2 1  在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为 ds y dx 2  1    这也就是弧长元素 因此 例 1 计算曲线 2 3 3 2 y  x 上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的长度 解 2 1 y  x  从而弧长元素 ds  1  y dx  1  xdx 2  因此 所求弧长为 b a b a s xdx (1 x) ] 3 2 1 [ 2 3      [(1 ) (1 ) ] 3 2 2 3 2 3   b   a  例 2 计算悬链线 c x y  cch 上介于 xb 与 xb 之间一段弧的长度 解 c x y  sh  从而弧长元素为 dx c x dx c x ds 1 sh ch 2     因此 所求弧长为      b b b dx c x dx c x s 0 ch 2 ch c b dx c c x c b 2 [sh ] 2 sh  0   2．参数方程情形 设曲线弧由参数方程 x(t)、y(t) (t )给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数 因为 ( ) ( ) t t dx dy       dx(t)d t  所以弧长元素为

《高等数学》教案1+*()d=0"+w"d.ds0()所求弧长为s=Jo"2(0)+w"2(0)dt例3.计算摆线x=a(C-sinの),y=a(1-cos)的一拱(0≤≤2元)的长度解：弧长元素为0ds=a2(1-cos0)?+a?sin?ode=a/2(1-cos0)do=2asin-de1所求弧长为s=f"2asin号do = 2a[-2cos号1"=8a.3.极坐标情形设曲线弧由极坐标方程P=p()(α≤≤)给出，其中r(の)在[α,冈上具有连续导数。由直角坐标与极坐标的关系可得x=p)cos=p()sinα≤≤)于是得弧长元素为ds=/x"2(0)+ y2(0)do =/p2(0)+p2(0)d0从而所求弧长为s=J /p2(0)+p"2(0)d0例14.求阿基米德螺线p=a9(α>0)相应于9从0到2元一段的弧长解：弧长元素为ds=a202+?d=a/1+02de于是所求弧长为2a／1+02d0=号[2元／1+4元？+|n(2元+/1+4元2）]复习思考题、作业题因材施教，将根据课堂授课的实际情况布置作业。下次课预习要点教学后记19

《高等数学》教案 19 t dt t t dt t t ds ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2                所求弧长为       s  (t)  (t)dt 2 2  例 3 计算摆线 xa(sin) ya(1cos)的一拱(0  2 )的长度 解 弧长元素为 ds a  a  d 2 2 2 2  (1  cos )  sin  a 2(1 cos )d   a d 2  2 sin  所求弧长为     2  0 2 s 2a sin d  2 0 ] 2  2a[2 cos 8a 3．极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程 () (     ) 给出 其中 r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得 x()cos  y()sin(    ) 于是得弧长元素为 ds x ( ) y ( )d 2 2      ()  ()d 2 2     从而所求弧长为      s  ()  ()d 2 2  例 14 求阿基米德螺线a (a>0)相应于 从 0 到 2 一段的弧长 解 弧长元素为 ds a  a d a  d 2 2 2 2    1   于是所求弧长为       2 0 2 s a 1 d [2 1 4 ln(2 1 4 )] 2 2 2          a  复习思考题、作业题： 因材施教，将根据课堂授课的实际情况布置作业。 下次课预习要点 教 学 后 记

《高等数学》教案授课时间课次第9-16次第5-8周章节第九章多元函数微分法及其应用名称授课教学16理论课（)、实践课（）、习题题（）、其它（）方式时数1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5、掌握多元复合函数偏导数的求法。教学6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。目的7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。要求8、了解二元函数的二阶泰勒公式。9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。10、介绍多元函数极值时，数形结合画出的图形就像庐山的山岭一样，让学生感悟人生的跌宕起伏，遇难不气铵。教学讲授方法教学重点：1、二元函数的极限与连续性；2、函数的偏导数和全微分；3、方向导数与梯度的概念及其计算：4、多元复合函数偏导数：5、隐函数的偏导数6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；教学7、多元函数极值和条件极值的求法。重点教学难点：难点1、二元函数的极限与连续性的概念；2、全微分形式的不变性；3、复合函数偏导数的求法；4、二元函数的二阶泰勒公式；5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数：6、拉格郎日乘数法；7、多元函数的最大值和最小值。20

《高等数学》教案 20 授课时间 第 5-8 周 课 次 第 9-16 次 章 节 名 称 第九章 多元函数微分法及其应用 授 课 方 式 理论课（√）、实践课（ ）、习题题（ ）、其它（ ） 教学 时数 16 教 学 目 的 要 求 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要 条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件， 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条 件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 10、介绍多元函数极值时，数形结合画出的图形就像庐山的山岭一样，让学生感 悟人生的跌宕起伏，遇难不气馁。 教 学 方 法 讲授 教 学 重 点 难 点 教学重点： 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 7、多元函数极值和条件极值的求法。 教学难点： 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法； 7、多元函数的最大值和最小值