揭阳职业技术学院：《高等数学》课程授课教案

《高等数学》教案数的间断点注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明，多元连续函数的和、差、积仍为连续函数：连续函数的商在分母不为零处仍连续：多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数：与一元初等函数类似，多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数，这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的，例如+2-2,sin(x+y)，er+y2+都是多元初等函数.1+ y2一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元连续函数的连续性，如果要求多元连续函数代P)在点Po处的极限，而该点又在此函数的定义区域内，则limf(P)=f(P)p→Pox+y例7求lim(x,y)-→(1,2) xy解：函数(x,J)=+是初等函数,它的定义域为：D=(x,1)x0,yx0).xyPo(1,2)为D的内点，故存在Po的某一邻域U(Po)cD，而任何邻域都是区域，所以U(Po)是(x,y)的一个定义区域，因此3lim(x,J)=f(1,2)=2(x,y)→(1,2)一般地，求limf(P)时，如果(P)是初等函数，且Po是《P)的定义域的内点，则(P)在点Po处连P-→P续，于是lim f(P)=f(Po).P->PVxy+1-1:lim例8求xy(x,y)→(0, 0)Vxy+1-1(/xy+1-1)(/xy+1+1)Jim解：limlimxy(x,y)→(0, 0)(x,y)→(0, 0)xy(/xy+1+1)(s,j)>(0,0) /xy+1+12多元连续函数的性质：性质1（有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值性质1就是说，若P)在有界闭区域D上连续，则必定存在常数M>0，使得对一切PeD，有I(P)<M;且存在PI、P2ED，使得(P)=max((P)/PeD)，(P2)=min((P)/PeD)性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值第二节偏导数26

《高等数学》教案 26 数的间断点 注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点 可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多 元连续函数的复合函数也是连续函数 多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个 式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的 例如 2 2 2 1 y x x y     sin(xy) 2 2 2 x y z e   都是多元初等函数 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区 域 由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数f(P)在点P0处的极限 而该点又在此函数的定 义区域内 则 lim ( ) ( )0 0 f P f P p p    例 7 求 xy x y x y  ( , )(1,2) lim  解 函数 xy x y f x y  ( , ) 是初等函数 它的定义域为：D{(x y)|x0 y0} P0(1 2)为 D 的内点 故存在 P0的某一邻域 U(P0)D 而任何邻域都是区域 所以 U(P0)是 f(x y)的一 个定义区域 因此 2 3 lim ( , ) (1,2) ( , ) (1,2)    f x y f x y  一般地 求 lim ( ) 0 f P PP 时 如果 f(P)是初等函数 且 P0是 f(P)的定义域的内点 则 f(P)在点 P0处连 续 于是 lim ( ) ( )0 0 f P f P P P    例 8 求 xy xy x y 1 1 lim ( , ) (0, 0)     解 ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 1 1 lim ( , ) (0, 0) ( , ) (0, 0)            xy xy xy xy xy xy x y x y 2 1 1 1 1 lim ( , ) (0, 0)     x y  xy  多元连续函数的性质 性质 1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域 D 上的多元连续函数 必定在 D 上有界 且能 取得它的最大值和最小值 性质 1 就是说 若 f(P)在有界闭区域 D 上连续 则必定存在常数 M0 使得对一切 PD 有 |f(P)|M 且存在 P1、P 2D 使得 f(P1)max{f(P)|PD} f(P2)min{f(P)|PD} 性质 2 (介值定理) 在有界闭区域 D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值  第二节 偏导数

《高等数学》教案一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数z=(x，y)，如果只有自变量×变化，而自变量固定，这时它就是x的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数z=/(x,y)对于x的偏导数定义设函数z=/(x,y)在点(xo,jo)的某一邻域内有定义，当y固定在yo而x在xo处有增量Ar时，相应地函数有增量(xo+Ax,yo)-f(xo,yo).如果极限f(xo+Ax,yo)-f(xo,yo)lim AxAr→0存在，则称此极限为函数z=/(x,y)在点(xo,yo)处对x的偏导数，记作aflOz/x=xo，或f(xo,Jo).x=x05zxxoax(=%~ ax=Py=yo例如：(00)= lm +)()AxAr->0类似地，函数z=/(x,y)在点(xo,Jo)处对y的偏导数定义为Jim, (o. o+)- (o.0),Ay4→0aflOzl记作，或f(xo,yo).Z.%%=Xo，X=XoQyly=yoy=yo偏导函数：如果函数2=(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=(x,y)对自变量x的偏导函数，记作，或(),偏导函数的定义式:J(x,J)=lim(x+r,y)-(s,)Ax4x->0类似地，可定义函数2=/(x,)对y的偏导函数，记为af,zy,或f(x,y)aydy偏导函数的定义式: J(x,)= lim (,+A)-(x,)AyAy->0求%时，只要把?暂时看作常量而对×求导数；求%时，只要把×暂时看作常量而对求导数axay讨论：下列求偏导数的方法是否正确？f.(xo, yo)= fi(x,y)x=xo , f,(xo, yo)= f,(x,y)x=x=V% (x,0) ,(0, )=%(0,)-% f(xo, yo)=[dbx27

《高等数学》教案 27 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数 zf(x y) 如果只有自变量 x 变化 而自变量 y 固定 这时它就是 x 的一元函数 这 函数对 x 的导数 就称为二元函数 zf(x y)对于 x 的偏导数 定义 设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某一邻域内有定义 当y固定在y0而x在x0处有增量x时 相 应地函数有增量 f(x0x y0)f(x0 y0) 如果极限 x f x x y f x y x      ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在 则称此极限为函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 x 的偏导数 记作 0 0 y y x x x z      0 0 y y x x x f      0 0 y y zx x x    或 ( , ) 0 0 f x y x  例如： x f x x y f x y f x y x x       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0  类似地 函数 zf(x y)在点(x0 y0)处对 y 的偏导数定义为 y f x y y f x y y      ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0  记作 0 0 y y x x y z      0 0 y y x x y f      0 0 y y zy x x    或 fy(x0 y0) 偏导函数 如果函数 zf(x y)在区域 D 内每一点(x y)处对 x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就 是 x、y 的函数 它就称为函数 zf(x y)对自变量 x 的偏导函数 记作 x z    x f    x z  或 f (x, y) x  偏导函数的定义式 x f x x y f x y f x y x x       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0  类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为 y z    y f    zy  或 f (x, y) y  偏导函数的定义式 y f x y y f x y f x y y y       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0  求 x f   时 只要把 y 暂时看作常量而对 x 求导数 求 y f   时 只要把 x 暂时看作常量而对 y 求导数  讨论 下列求偏导数的方法是否正确？ 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 y y x x x x f x y f x y     0 0 ( , ) ( , ) 0 0 y y x x y y f x y f x y     0 ( , ) [ ( , )] 0 0 0 x x x f x y dx d f x y    0 ( , ) [ ( , )] y 0 0 0 y y f x y dy d f x y   

《高等数学》教案偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.例如三元函数=(xy,=)在点(x,y,=)处对x的偏导数定义为(x,y,2)= lim I(x+Ar,y.a)-(x ya)AxAr→0其中(x,y,=)是函数u-/(x,J,2)的定义域的内点。它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数azOzOz==2x+3y,=3x+2y.解[-21+32-,=3·1+2·2=7.axdyayy-2例2求z=x2sin2y的偏导数Oz==2x2cos2y.二=2xsin2y,解axdy例3 设=x(x>0 *1),求证：%+%=2=.yoxInxoyOz==xyInx.=JXJ-证axay+-+江xylnx=x+xy=2zInxyaxInxayy例4求r=，x2+y2+22的偏导数解rx-x.oryyaxr'dyVx?+y2+2?Vx2+y2+2例5已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数）op.av.oT--1.求证：avOtORTap2=_RT证因为p=V2;V，av-V-RTav_RpOTpOT_VT=pVRPRP.oV.T--RT.R.=-RT--1.所以avaToppRpv例5说明的问题：偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子分母之商二元函数z=(x,y)在点(xo,yo)的偏导数的几何意义：J(xo,Jo)=[(x,yo)]是截线z=(x,yo)在点Mo处切线Tx对x轴的斜率(xo,Jo)=[(xo,y)l是截线==(xo,y)在点Mo处切线T,对y轴的斜率偏导数与连续性：对于多元函数来说即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续，例如28

《高等数学》教案 28 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数 例如三元函数 uf(x y z)在点(x y z)处对 x 的偏导数 定义为 x f x x y z f x y z f x y z x x       ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0  其中(x y z)是函数 uf(x y z)的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题 例 1 求 zx 23xyy 2在点(1 2)处的偏导数 解 x y x z 2 3    x y y z 3 2    2 1 3 2 8 2 1          y x x z  3 1 2 2 7 2 1          y x y z  例 2 求 zx 2sin 2y 的偏导数 解 x y x z 2 sin 2    x y y z 2 cos2 2     例 3 设 z  x (x 0, x 1) y  求证 z y z x x z y x 2 ln 1        证 1    y yx x z  x x y z y  ln    x x x x z x yx y x y z x x z y x y y y y ln 2 ln 1 ln 1 1             例 4 求 2 2 2 r  x  y  z 的偏导数 解 r x x y z x x r       2 2 2  r y x y z y y r       2 2 2  例 5 已知理想气体的状态方程为 pV=RT(R 为常数) 求证 1         p T T V V p  证 因为 V RT p  2 V RT V p     p RT V   p R T V     R pV T   R V p T     所以 1 2              pV RT R V p R V RT p T T V V p  例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商 二元函数 zf(x y)在点(x0 y0)的偏导数的几何意义 fx(x0 y0)[f(x y0)]x是截线 zf(x y0)在点 M0处切线 Tx 对 x 轴的斜率 fy(x0 y0) [f(x0 y)]y是截线 zf(x0 y)在点 M0处切线 Ty对 y 轴的斜率 偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续  例如

《高等数学》教案xyx?+y+0x2+y2f(x,y)=0x2+y2=0在点(0,0)有,f(0,0)=0,J(0,0)=0，但函数在点(0,0)并不连续提示：f(x,0)=0, f(0,y)=0;兴(x, 0)=0, (0,0)=(0, )=0 .J(0, 0)=dxdy当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时，有lim.f(x,y)=lim f(x, 0)=lim0=0;(x,y)→(0,0)x-0X-0当点P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0)时，有kx2kxylim-=lim2~1+k2x0x2+k2x2(x,y)→(0,0) x2 + y2y=kx因此，limf(x,y)不存在，故函数(x,y)在(0,0)处不连续(x,y)→(0,0)类似地，可定义函数z=/(x,y)对y的偏导函数，记为azaf,y,或f(x,y)Qy'dy"偏导函数的定义式：J,(x,)=lim(x,y+Ay)-(x,)AyAy-0二。高阶偏导数设函数z=(x,J)在区域D内具有偏导数=f(x,),=f,(x,),axay那么在D内f(x,J)f(x,y)都是x,y的函数。如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数z=f(x,y)的二偏导数.按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数z=(x,y)在区域D内的偏导数f(x,y)、(x,y)也具有偏导数则它们的偏导数称为函数z=xy)的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数0(%)-%=a(x,),2()=0= Jg(x,),Oxaxax2OyaxaxOy2(2)=0220()=-02zfx(x,y),=fy(x,y)axOyayoxayayay229

《高等数学》教案 29            0 0 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y xy f x y 在点(0 0)有 fx(0 0)0 fy(0 0)0 但函数在点(0 0)并不连续 提示 f (x, 0) 0  f (0, y) 0  (0, 0)  [ f (x, 0)]0 dx d fx  (0, 0)  [ f (0, y)]0 dy d f y  当点 P(x y)沿 x 轴趋于点(0 0)时 有 lim ( , ) lim ( , 0) lim0 0 ( , ) (0,0) 0 0    x y  x x f x y f x  当点 P(x y)沿直线 ykx 趋于点(0 0)时 有 2 2 2 2 2 0 2 2 ( , ) (0,0) 1 lim lim k k x k x kx x y xy x y kx x y         因此 lim ( , ) ( , ) (0,0) f x y x y  不存在 故函数 f(x y)在(0 0)处不连续 类似地 可定义函数 zf(x y)对 y 的偏导函数 记为 y z    y f    zy  或 f (x, y) y  偏导函数的定义式 y f x y y f x y f x y y y       ( , ) ( , ) ( , ) lim 0  二 高阶偏导数 设函数 zf(x y)在区域 D 内具有偏导数 f (x, y) x z  x    f (x, y) y z  y    那么在 D 内 fx(x y)、fy(x y)都是 x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数 zf(x y)的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数 zf(x y)在区域 D 内的偏导数 fx(x y)、fy(x y)也具有偏导数 则它们的偏导数称为函数 zf(x y)的二阶偏导数 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数 ( ) ( , ) 2 2 f x y x z x z x  xx         ( ) ( , ) 2 f x y x y z x z y  xy          ( ) ( , ) 2 f x y y x z y z x  yx          ( ) ( , ) 2 2 f x y y z y z y  yy        

《高等数学》教案022()022其中()=--=Jx(x,y),=Ja(x,J)称为混合偏导数.ayaxaxyax ayayax2()-0, ()=2()=,()=aaxxyJ-ayaxayay-ay2同样可得三阶、四阶、以及n阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6 设=ry-3mp-ry41,求器、%、和点ax2aayxOxoyz=3x2y2-3y -y,=2x3y-9xy2-x;解axdy号=6xy2，az=6y2;ax2ax3022==6x2 y-9y2-1.=6x2y-9y2-1,axoyayox022_022由例6观察到的问题：Oyoxaxay及在区域D内连续，那么在该区域内定理如果函数2=(x,y)的两个二阶混合偏导数一ayoxaxoy这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7验证函数z=ln/2+满足方程%+%=0ax2Qy2证因为z=ln/x2+y2=ln(x2+y2)，所以2Oz=xOz=—yaxx+y2ayx2+y202=_ (r2 +y2)-x-2x__ y2-x2ax2(x2+y2)2(x2+y2)2o2=- (x2+y2)- y.2y __x-y2ay2(x2+y2)2(x2+y2)230

《高等数学》教案 30 其中 ( ) ( , ) 2 f x y x y z x z y  xy          ( ) ( , ) 2 f x y y x z y z x  yx         称为混合偏导数 2 2 ( ) x z x z x         x y z x z y         2 ( )  y x z y z x         2 ( )  2 2 ( ) y z y z y         同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 例 6 设 zx 3y 23xy 3xy1 求 2 2 x z   、 3 3 x z   、 y x z    2 和 x y z    2  解 x y y y x z      2 2 3 3 3  x y xy x y z      3 2 2 9  2 2 2 6xy x z     2 3 3 6y x z     6 9 1 2 2 2       x y y x y z  6 9 1 2 2 2       x y y y x z  由例 6 观察到的问题 x y z y x z        2 2 定理 如果函数 zf(x y)的两个二阶混合偏导数 y x z    2 及 x y z    2 在区域 D 内连续 那么在该区域内 这两个二阶混合偏导数必相等 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数 例 7 验证函数 2 2 z ln x  y 满足方程 0 2 2 2 2       y z x z  证 因为 ln( ) 2 1 ln 2 2 2 2 z  x  y  x  y  所以 2 2 x y x x z      2 2 x y y y z      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 x y y x x y x y x x x z            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 x y x y x y x y y y y z           