浙江科技学院Zhejiang University of Science and Technology第三章复变函数的积分S 3.2 柯西积分定理结运回P束
结 束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology 1 第三章 复变函数的积分 §3.2 柯西积分定理
第三章复变函数的积分S2柯西-古萨积分定理1、 引言复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分，这就很自然地引出积分与路径无关的问题事实上，从上一节中，我们知道：有的积分与积分路径无关；有的积分与积分路径有关我们的问题是：在什么条件下复变函数的积分与积分路径无关？此问题等价于沿任意的闭曲线积分是否等于零的问题结运回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 2 复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积 分，这就很自然地引出积分与路径无关的问题. §2 柯西-古萨积分定理 2 1、 引言 . 事实上，从上一节中，我们知道：有的积分与积 分路径无关；有的积分与积分路径有关 我们的问题是：在什么条件下复变函数的积分 与积分路径无关？此问题等价于沿任意的闭曲线积 分是否等于零的问题
第三章复变函数的积分(1)被积函数f(z) = z2在复平面处处解析；复平面是单连通区域；结论：积分与积分路径无关。(2)被积函数f(z)=z在复平面处处不解析；复平面是单连通区域：结论：积分与积分路径有关。(3)§-dz=2元i±0[z-20l=r Z- Zo在z-z=r内不处处解析,lz-z<r是单连通区域结论：积分与积分路径有关。结回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 3 3 0 0 在| | | | . z z r z z r − = − 内不处处解析, 是单连通区域 （1） 被积函数 f (z) = z 2 在复平面处处解析；复平面是单连通区域； 结论：积分与积分路径无关。 （2 )被积函数 f z z ( ) = 在复平面处处不解析；复平面是单连通区域； 结论：积分与积分路径有关。 （3） 0 0 1 2 0. z z r dz i z z − = = − 结论：积分与积分路径有关
第三章复变函数的积分（4）还是上一个积分在去掉Z=zo的区域内处处解析;此时的区域不是单连通区域：结论：积分与积分路径有关。由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值等于零的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的连通性有关，2、柯西积分定理定理1若f(z)在单连通区域D内解析，则对于D内任一条闭曲线C，都有f(z)dz=0.结运回束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 44 由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的 积分值等于零的条件可能与被积函数的解析性及 解析区域的连通性有关. 2、 柯西积分定理 ( ) 0. 1 ( ) = c D C f z dz f z D 内任一条闭曲线 ，都有 定 理 若 在单连通区域 内解析，则对于 （4）还是上一个积分 在去掉 0 z z = 的区域内处处解析； 此时的区域不是单连通区域； 结论：积分与积分路径有关
第三章复变函数的积分本定理得证明实际是计算积分的问题，其中一种方法为f(z)=u+ivf. f(z)dz udx - vdy +id, vdx + udy.=Green公式if( (ux -y,)dxdyJf(-vx -u,)dxdy+i二DD= 01结回D束
结 束 返回 第三章 复变函数的积分 5 5 本定理得证明实际是计算积分的问题，其中一种方法为 ( ) ( ) . f z u iv c C C f z dz udx vdy i vdx udy = + = − + + ( ) ( ) Green x y x y D D = − − + − v u dxdy i u v dxdy 公式 0 ( , ) = = = − u v u v x y y x