揭阳职业技术学院：《高等数学》课程授课教案

《高等数学》教案(1)启(sin x)dx=)Je f(cos x)dx ;(2) x(sin x)dx=号(sin x)dx证明(1)令x=号-1，则 (in -- sim-0um=sin()dt=(cosx)d(2)令 x=元-1, 则 (sinx)dx=-I(-1)[sin(元-1)dt=], (-1)/[sin(元-t)]dt= (-1)f(sint)di=, (sin)dt-(sini)dt= (sinx)dx-xf(sin)dx,x(sin x)dx=号(sin x)dx.所以[ xe-r x≥0例7设函数F(x)=[1+cosx -1<x<0·计算]f(x-2)dx解设x-2=t，则(x-2)dx=L,(dt=L-dt+[te-rJ-1l+cost-e-=tan]--e-++}.=[tan 22°21提示：设x-2=t，则dx=dt；当x=1时(=-1,当x=4时(=2.二、分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间[a,b)上具有连续导数u(x)、v(x)，由(uw)=uv+uv得uv=uv-uy，式两端在区间[a,b]上积分得d-[,或u=['v这就是定积分的分部积分公式分部积分过程"'w'dx-'udv=[l)-'vdu=[wl-'"vdx.2arcsinxdx.例1 计算Jexd aresin x2arcsin xdx=[xarcsinx解11

《高等数学》教案 11 (1)    2 0 2 0 (sin ) (cos )   f x dx f x dx  (2)       0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx  证明 (1)令 x t 2   则 f x dx f t)]dt 2 (sin ) [sin( 0 2 2 0             2 0 2 0 )] (cos ) 2 [sin(    f t dt f x dx  (2)令 xt 则      0 0 (sin ) ( ) [sin( )]   xf x dx  t f  t dt             0 0 ( t)f[sin( t)]dt ( t)f (sint)dt        0 0 f (sint)dt tf (sint)dt        0 0 f (sin x)dx xf (sin x)dx  所以       0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx  例 7 设函数            1 0 1 cos 1 0 ( ) 2 x x xe x f x x  计算   4 1 f (x 2)dx  解 设 x2t 则             2 0 0 1 2 1 4 1 2 1 cos 1 ( 2) ( ) dt te dt t f x dx f t dt t 2 1 2 1 2 1 ] tan 2 1 ] [ 2 [tan 4 2 0 0 1 2         e e t t  提示 设 x2t 则 dxdt 当 x1 时 t1 当 x4 时 t2 二、分部积分法 设函数 u(x)、v(x)在区间[a b]上具有连续导数 u(x)、v(x) 由 (uv)uv u v得 u vu vuv  式两端在区间[a b]上积分得 uv dx uv u vdx b a b a b a       [ ]  或 udv uv vdu b a b a b a  [ ]   这就是定积分的分部积分公式 分部积分过程   [ ]  [ ]         uv dx udv uv vdu uv u vdx b a b a b a b a b a b a  例 1 计算 2 arcsin xdx 1 0  解 2 arcsin xdx 1 0 [xarcsin x] 2 xd arcsin x 1 0 2 1 0   

《高等数学》教案1元_2-xdx6-%-x+-)++V1-x112212U例 2 计算fevidx1解令>/=t，则edt=2feat=2f'ide=2[re1], -21.e'dt=2e-2[e']’ =2例3设1，=l,=Je sin"xdr，证明(1)当n为正偶数时，I,=n-1.n-3.3.1.元，nn-2422(2)当n为大于1的正奇数时，1=一1-号42nn-253证明 1I,=Isinxdt -sin-xd cosx-[2-[2--ossin++codsin=(n)cos*xsin"-2 xd =(n)(sin"-2x-sin")dt=(n-)sin-2 xdx-(n-1) sin" xdx=(n-1) n-2-(n-1)I n,由此得I,=n=l/n-2h_2m-1.2m-3.2m-5..3.112m2m22m-22m-442'2m2m-22m-4.4.212ml=2m+1 2m-12m-333/[dx=号， 4=) sinxdx=1,而1o=因此12

《高等数学》教案 12 dx x x 2 2 1 0 2 6 1 1      (1 ) 1 1 2 1 12 2 2 2 1 0 d x x       2 1 0 2 [ 1 ] 12    x  1 2 3 12      例 2 计算  1 0 e dx x  解 令 x t  则    1 0 1 0 e dx 2 e tdt x t   1 0 2 t tde    1 0 1 0 2[te ] 2 e dt t t 2 2[ ] 2 1 0    t e e  例 3 设   2 0 sin  I xdx n n  证明 (1)当 n 为正偶数时 2 2 1 4 3 2 1 3          n n n n In  (2)当 n 为大于 1 的正奇数时 3 2 5 4 2 1 3        n n n n In  证明   2 0 sin  I xdx n n     2 0 1 sin cos  xd x n      2 0 2 1 0 1 [cos sin ] cos sin   x x xd x n n     2 0 2 2 ( 1) cos sin  n x xdx n     2  0 2 ( 1) (sin sin )  n x x dx n n        2 0 2 0 2 ( 1) sin ( 1) sin   n xdx n xdx n n (n1)I n 2(n1)I n  由此得 2 1   n  n I n n I  2 0 2 1 4 3 2 4 2 5 2 2 2 3 2 2 1 I m m m m m m I m            2 1 1 3 2 5 4 2 3 2 4 2 1 2 2 2 1 2 I m m m m m m I m             而 2 2 0 0      I dx  sin 1 2 0 1    I xdx  因此

《高等数学》教案12m=2m-1.2m-3.2m-5.3.1.元,2m2m-22m44222m.2m-2.2m-4..4.2I2m=2m+1 2m-12m-3 33例3设1,=sin"xdx(n为正整数)，证明12m =20-1 2-3 2m-5-31-32m2m-22m-4"4222m..2m-2.2m-4...4.212m+1=2m4 2--2m-333证明 I,=I sin"xdx =-[[2 sin"-l xd cosx-csxsin+(cos* xsin2 xdx=(n-I)(sin"-2 x-sin"x)dx=(nI)sin"-2 xdx-(n-)sin"xdx=(n-1)In-2-(n-1)In,导1,=m-2由此得n12 -25] 20-3-3--12 1-2 5 lo=I&dx=号， 4= sn xdk=1.特别地12m=20-1 2m-32m=53-1-32m_.2m-2.2m-4..4.2因此12ml=2m-1 2m-1 2m-35:32m2m-22m-4422复习思考题、作业题：因材施教，将根据课堂授课的实际情况布置作业。下次课预习要点教学后记13

《高等数学》教案 13 2 2 1 4 3 2 4 2 5 2 2 2 3 2 2 1 2             m m m m m m I m  3 2 5 4 2 3 2 4 2 1 2 2 2 1 2 2 1            m m m m m m I m  例 3 设   2 0 sin  I xdx n n (n 为正整数) 证明 2 2 1 4 3 2 4 2 5 2 2 2 3 2 2 1 2             m m m m m I m m  3 2 5 4 2 3 2 4 2 1 2 2 2 1 2 2 1            m m m m m I m m  证明   2 0 sin  I xdx n n     2 0 1 sin cos  xd x n        2 0 2 2 2 0 1 [cos sin ] ( 1) cos sin   x x n x xdx n n     2  0 2 ( 1) (sin sin )  n x x dx n n        2 0 2 0 2 ( 1) sin ( 1) sin   n xdx n xdx n n (n1)I n 2(n1)I n  由此得 2 1   n  n I n n I  2 0 2 1 4 3 2 4 2 5 2 2 2 3 2 2 1 I m m m m m I m m             2 1 1 3 2 5 4 2 3 2 4 2 1 2 2 2 1 2 I m m m m m I m m              特别地 2 2 0 0      I dx  sin 1 2 0 1    I xdx  因此 2 2 1 4 3 2 4 2 5 2 2 2 3 2 2 1 2             m m m m m I m m  3 2 5 4 2 3 2 4 2 1 2 2 2 1 2 2 1            m m m m m I m m  复习思考题、作业题： 因材施教，将根据课堂授课的实际情况布置作业。 下次课预习要点 教 学 后 记

《高等数学》教案授课时间第3,4周课次第6-8次章节第六章定积分的应用名称授课教学理论课（V)、实践课（）、习题题（）、其它（）6方式时数1、理解元素法的基本思想；教学2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转目的体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。要求3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。4、讲述中国古代数学对微积分创立的贡献，培养学生的文化自信。教学讲授方法教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面教学面积为已知的立体体积。重点2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。难点教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。2、引力。教学步骤及内容：第一节定积分的元素法回忆曲边梯形的面积：设y=f(x)≥0 (xe[a,bl).如果说积分，f(x)dx是以[α,b]为底的曲边梯形的面积，则积分上限函数A(x)=f'f(t)dt就是以[a,x)为底的曲边梯形的面积。而微分dA(x)=f(x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值△A~f(x)dx,f(x)dx称为曲边梯形的面积元素以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素x)dx为被积表达式，以[a,b]为积分区间的定积分：A=f'f(x)dx .一般情况下，为求某一量U，先将此量分布在某一区间[α,b]上，分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示，再求这一量的元素dU(x)，设dU(x)=u(x)dx，然后以u(x)dx为被积表达式，以[a,b]为积分区间求定积分即得'f(x)dxU=用这一方法求一量的值的方法称为微元法（或元素法）14

《高等数学》教案 14 授课时间 第 3,4 周 课 次 第 6-8 次 章 节 名 称 第六章 定积分的应用 授 课 方 式 理论课（√）、实践课（ ）、习题题（ ）、其它（ ） 教学 时数 6 教 学 目 的 要 求 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转 体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 4、讲述中国古代数学对微积分创立的贡献，培养学生的文化自信。 教 学 方 法 讲授 教 学 重 点 难 点 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面 面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、 截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 教学步骤及内容： 第一节 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积 设 yf (x)0 (x[a b]) 如果说积分   b a A f (x)dx 是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数   xa A(x) f (t)dt 就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分 dA(x)f (x)dx 表示点 x 处以 dx 为宽的小曲边梯形面积的 近似值Af (x)dx f (x)dx 称为曲边梯形的面积元素 以[a b]为底的曲边梯形的面积 A 就是以面积元素 f(x)dx 为被积表达式 以 [a b]为积分区间的定积分   b a A f (x)dx  一般情况下 为求某一量 U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数 U(x) 表示 再求这一量的元素 dU(x) 设 dU(x)u(x)dx 然后以 u(x)dx 为被积表达式 以[a b]为积分区间求 定积分即得   b a U f (x)dx  用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)

《高等数学》教案第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y=f(x)与y-f(x)及左右两条直线x=a与x=b所围成，则面积元素为V(x)-f(x)dx，于是平面图形的面积为S-f'U(x)-fr(x)dx,类似地，由左右两条曲线x=P()与x=P(y)及上下两条直线y=d与y=c所围成设平面图形的面积为S=], [9者()-甲()]dy.例1计算抛物线y=x、y=x2所围成的图形的面积解(1)画图.(2)确定在x轴上的投影区间：[0,1](3)确定上下曲线：f(x)=Vx，(x)=x2(4)计算积分量-1r6=3S=J(Vx-x)dx=[2x例2计算抛物线y=2x与直线y=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：[-2,4](3)确定左右曲线：左(y)=y, P者(v)=y+4(4)计算积分2)dy=2+4y-2=18S=1（V-例3求椭圆+=1所围成的图形的面积a2b2解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍，椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为[0,a]因为面积元素为ydx，所以S=vax椭圆的参数方程为：x=acost,y=bsint,于是sintd(acosi)S=4lvab=-4ab[ sin? idt =2ab[(1-cos21)dt =2ab.=ab元2.极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素由曲线p=()及射线=α,=β成的图形称为曲边扇形.曲边扇形的面积元素为15

《高等数学》教案 15 第二节 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线 yf 上(x)与 yf 下(x)及左右两条直线 xa 与 xb 所围成 则面积元素为 [f 上(x) f 下(x)]dx 于是平面图形的面积为 S f x f x dx b a  [ 上( ) 下( )]  类似地 由左右两条曲线 x左(y)与 x右(y)及上下两条直线 yd 与 yc 所围成设平面图形的面积 为    d c S [ 右(y)  左(y)]dy  例 1 计算抛物线 y 2x、yx 2所围成的图形的面积 解 (1)画图 (2)确定在 x 轴上的投影区间: [0 1] (3)确定上下曲线 2 f上(x) x, f下(x) x  (4)计算积分 3 1 ] 3 1 3 2 ( ) [ 1 0 2 3 3 1 0 2       S x x dx x x  例 2 计算抛物线 y 22x 与直线 yx4 所围成的图形的面积 解 (1)画图 (2)确定在 y 轴上的投影区间: [2 4] (3)确定左右曲线 , ( ) 4 2 1 ( ) 2  左 y  y  右 y  y  (4)计算积分     4 2 2 ) 2 1 S (y 4 y dy ] 18 6 1 4 2 1[ 4 2 2 3  y  y y    例 3 求椭圆 1 2 2 2 2   b y a x 所围成的图形的面积 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在 x 轴上的投影区间 为[0 a] 因为面积元素为 ydx 所以   a S ydx 0 4  椭圆的参数方程为: xa cos t  yb sin t  于是   a S ydx 0 4   0 2 4 sin ( cos )  b td a t    0 2 2 4ab  sin tdt    20 2 (1 cos2 )  ab t dt    ab  ab 2 2  2．极坐标情形 曲边扇形及曲边扇形的面积元素 由曲线()及射线   围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为