揭阳职业技术学院：《高等数学》课程授课教案

《高等数学》教案['mdx≤J' (x)dx≤"Mdx从而m(b-a)≤ff(x)dx≤M(b-a)性质7（定积分中值定理）如果函数x)在闭区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一个点，使下式成立：(x)dx= ()(b-a) .这个公式叫做积分中值公式。证明由性质6m(b-a)≤[ f(x)dx≤M(b-a)各项除以b-a得f(x)dx<M,再由连续函数的介值定理，在[a,b]上至少存在一点，使)-odt,于是两端乘以b-α得中值公式[,f(x)dx=f()(b-a) .积分中值公式的几何解释：应注意：不论a<b还是a>b，积分中值公式都成立第二节微积分基本公式一、积分上限函数及其导数设函数(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点.我们把函数(x)在部分区间[a,x]上的定积分f(x)dx称为积分上限的函数。它是区间[a，b)上的函数，记为p(x)=f(x)dx，或p(x)- f'f(t)dt 定理1如果函数x)在区间[a,b]上连续，则函数0(x)=ff(x)dx在[a,b]上具有导数，并且它的导数为()=()dt=()(as<b),dx"a简要证明若xe(a,b),取Ar使x+Are(a,b)A=0(x+x)-0(x)=J(0)dt-I'(d="rod+fr(od-rodt

《高等数学》教案 6      b a b a b amdx f (x)dx Mdx  从而      b a m(b a) f (x)dx M (b a)  性质 7 (定积分中值定理) 如果函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 则在积分区间[a b]上至少存在 一个点  使下式成立    b a f (x)dx f ()(b a)  这个公式叫做积分中值公式 证明 由性质 6      b a m(b a) f (x)dx M (b a)  各项除以 ba 得     b a f x dx M b a m ( ) 1  再由连续函数的介值定理 在[a b]上至少存在一点  使    b a f x dx b a f ( ) 1 ()  于是两端乘以 ba 得中值公式    b a f (x)dx f ()(b a)  积分中值公式的几何解释 应注意 不论 a<b 还是 a>b 积分中值公式都成立 第二节 微积分基本公式 一、积分上限函数及其导数 设函数 f(x)在区间[a b]上连续 并且设 x 为[a b]上的一点 我们把函数 f(x)在部分区间[a x]上的 定 积分 f x dx xa ( )  称 为积 分上 限 的函 数  它 是区 间 [a  b]上 的函 数  记 为  (x) f x dx xa ( )    或 (x) f t dt xa ( )   定理 1 如果函数 f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x) f x dx xa ( )   在[a b]上具有导数 并且它的导数为 (x) f (t)dt f (x) dx d xa    (ax<b) 简要证明 若 x(a b) 取x 使 xx(a b) (xx)(x) f t dt f t dt xa x x a ( ) ( )      f t dt f t dt f t dt xa x x x xa ( ) ( ) ( )       

《高等数学》教案-+"f(0dt=f()Ax,应用积分中值定理，有△D=f()Ax,其中在x与x+△x之间，Ax→0时，5→x。于是= lim (5)=lim (5)=f(x).0(x)= lim 4Ar-0 AxAr-0若x=a，取△r>0，则同理可证Φ(x)=a)；若x=b，取Ar<0，则同理可证Φ-(x)=(b).定理2如果函数(x)在区间[a,b]上连续，则函数D(x)=f'f(x)dx就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.定理的重要意义：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系，二、牛顿一莱布尼茨公式定理3如果函数F(x)是连续函数(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则f(x)dx= F(b)-F(a) .此公式称为牛顿莱布尼茨公式，也称为微积分基本公式，这是因为F(x)和d(x)=[f(0)dt都是(x)的原函数，所以存在常数C，使F(x)-(x)=C(C 为某一常数).由 F(a)-Φ(a)=C 及(a)=0, 得 C=F(a), F(x)-Φ(x)=F(a).由 F(b)-(b)=F(a),得d(b)=F(b)-F(a),即"f(x)dx=F(b)-F(a)证明：已知函数F(x）是连续函数x）的一个原函数，又根据定理2，积分上限函数D(x)="f()dt也是(x)的一个原函数。于是有一常数C，使F(x)-(D(x)=C (a≤x≤b)当x=a时，有F(a)-d(a)=C,而(a)=0,所以C=F(a);当x=b时,F(b)-Φ(b)=F(a),所以Φ(b)=F(b)-F(a)，即["f(x)dx=F(b)-F(a) .为了方便起见，可把F(b)-F(a)记成[F(x))，于是["f(x)dx=[F(x)=F(b)-F(a) 进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.例1. 计算(xdx解：由于x3是x2的一个原函数，所以7

《高等数学》教案 7 f t dt f x x x x      ( ) ()  应用积分中值定理 有f ()x 其中在 x 与 xx 之间 x0 时 x  于是 (x) lim lim ( ) lim ( ) ( ) 0 0 f f f x x x x x                若 xa  取x>0 则同理可证(x) f(a) 若 xb  取x<0 则同理可证(x) f(b) 定理 2 如果函数 f(x)在区间[a b]上连续 则函数 (x) f x dx xa ( )   就是 f (x)在[a b]上的一个原函数 定理的重要意义 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的 另一方面初步地揭示了积分学中 的定积分与原函数之间的联系 二、牛顿莱布尼茨公式 定理 3 如果函数 F (x)是连续函数 f(x)在区间[a b]上的一个原函数 则 f (x)dx F(b) F(a) b a     此公式称为牛顿莱布尼茨公式 也称为微积分基本公式 这是因为 F(x)和(x) f t dt xa ( )  都是 f(x)的原函数 所以存在常数 C 使 F(x)(x)C (C 为某一常数) 由 F(a)(a)C 及(a)0 得 CF(a) F(x)(x)F(a) 由 F(b)(b)F(a) 得(b)F(b)F(a) 即 f (x)dx F(b) F(a) b a     证明 已知函数 F(x) 是连续函数 f(x) 的一个原函数 又根据定理 2 积分上限函数 (x) f t dt xa ( )  也是 f(x)的一个原函数 于是有一常数 C 使 F(x)(x)C (axb) 当 xa 时 有 F(a)(a)C 而(a)0 所以 CF(a) 当 xb 时 F(b)(b)F(a) 所以(b)F(b)F(a) 即 f (x)dx F(b) F(a) b a     为了方便起见 可把 F(b)F(a)记成 b a [F(x)]  于是 f (x)dx [F(x)] F(b) F(a) b a b a      进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系 例 1. 计算  1 0 2 x dx  解 由于 3 3 1 x 是 2 x 的一个原函数 所以

《高等数学》教案[x2dx=[x36=1-13-1-03=34V3dx例2计算1 1+x2解由于arctanx是的一个原函数，所以+X[actan=rcanarctan()元（元J-1 1+x2123例3.计算[dx解: [,dx=[n|x- =In 1-In 2=In 2. 2 X例4.计算正弦曲线y=sinx在[0,元]上与x轴所围成的平面图形的面积.解：这图形是曲边梯形的一个特例.它的面积A= [" sinxdx=[-cosx) =-(-1)-(-1)=2.'if()dt例5.设f(x)在[0,+0)内连续且(x)>0.证明函数F(x)r(od在(0,+o)内为单调增加函数.证明：()d=()，(0)dt=(x)。故dxJoF(r-r_ a-( f(0)d)?( r(0)dry?按假设，当0<I<x时f(0>0,(x-t)f()>0，所以[f()dt>0,(x-t)f(t)dt>0从而F(x)>0(x>0)，这就证明了F(x)在(0,+o0)内为单调增加函数'e'dt例6.求limJcosr→0x2解：这是一个零比零型未定式，由罗必达法则，e-r'dtse-r'dt=lim Sin xe~cos*x1lim cos.xlimx22eX2xx-0x-0x-0提示：设(x)="e-dt,则p(cosx)=fcosre-rdt- l=a(cos)=%()= (-sin)-sin x- ,drJdxdudx8

《高等数学》教案 8 3 1 0 3 1 1 3 1 ] 3 1 [ 1 3 3 0 3 1 0 2        x dx x  例 2 计算 2 3 1 1 x dx    解 由于 arctan x 是 2 1 1  x 的一个原函数 所以 3 2 1 3 1 [arctan ] 1      x x dx arctan 3 arctan(1)    12 7 ) 4 ( 3      例 3. 计算   1 2 1 dx x  解 1 2 1 2 [ln| |] 1       dx x x ln 1ln 2ln 2 例 4. 计算正弦曲线 ysin x 在[0 ]上与 x 轴所围成的平面图形的面积 解 这图形是曲边梯形的一个特例 它的面积   0 0 A sin xdx [cos x]  (1)(1)2 例 5. 设 f(x)在[0, )内连续且 f(x)>0 证明函数    x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0 )内为单调增加函数 证明 ( ) ( ) 0 tf t dt xf x dx d x    ( ) ( ) 0 f t dt f x dx d x    故 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( )     x x f t dt f x x t f t dt  按假设 当 0tx 时 f (t)>0 (xt)f (t) 0  所以 ( ) 0 0   f t dt x  ( ) ( ) 0 0    x t f t dt x  从而 F (x)>0 (x>0) 这就证明了 F (x) 在(0 )内为单调增加函数 例 6. 求 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x     解 这是一个零比零型未定式 由罗必达法则 x e xe x e dt x e dt x x x t x x t x 2 1 2 sin lim lim lim 2 2 2 cos 0 2 cos 1 0 2 1 cos 0             提示 设     x t x e dt 1 2 ( )  则     x t x e dt cos 1 2 (cos )  u x x t e x x e dx du u du d x dx d e dt dx d 2 2 2 cos cos 1 (cos ) ( ) ( sin ) sin               

《高等数学》教案S5.3定积分的换元法和分部积分法一、定积分的换元积分法定理假设函数(x)在区间[a,b]上连续，函数x=(0)满足条件(1)p(α)=a, p(β)=b;(2)o()在[α,（或[β,α])上具有连续导数，且其值域不越出[a,b]则有[f(x)dx=o(0)10()dt.这个公式叫做定积分的换元公式证明由假设知,Jx)在区间[a,b]上是连续，因而是可积的;J[p()]p(t)在区间[α,B(或[β,α])上也是连续的，因而是可积的.假设F(x)是(x)的一个原函数，则[f(x)dx =F(b)-F(a).另一方面，因为F=F"()](t)=[()，所以F())是[(]()的一个原函数，从而[/(e(0)]0(1)dt =F[0(β)]-FTαα)=F(b)-F(a).()dx=0(0)0(0dt因此注：应用该方法时要注意换元的同时要换限。例 1 计算[Va2-x dx(a>0)解JVa2-xdx=asinacost.acostdt=acos* idl=号(+cos2)dt=1+sin2ng-ma2提示：Va2-x2=a?-α’sin2i=acost,dx=acost当x=0时t-0，当x=a时t=例2 计算序cosxsinxdx解令=cosx，则cosxinxdx=-cosxdcosxdt=d=提示：当x=0时t=1，当x=号时(=0

《高等数学》教案 9 §5 3 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元积分法 定理 假设函数 f(x)在区间[a b]上连续 函数 x(t)满足条件 (1)( )a  ()b (2)(t)在[ ](或[ ])上具有连续导数 且其值域不越出[a b] 则有 f x dx f t t dt b a ( ) [( )] ( )       这个公式叫做定积分的换元公式 证明 由假设知 f(x)在区间[a b]上是连续 因而是可积的 f [(t)](t)在区间[ ](或[ ])上也是 连续的 因而是可积的 假设 F(x)是 f (x)的一个原函数 则 f x dx b a ( )  F(b)F(a) 另一方面 因为{F[(t)]}F [(t)](t) f [(t)](t) 所以 F[(t)]是 f [(t)](t)的一个原函数 从 而 f[(t)] (t)dt    F[( )]F[( )]F(b)F(a) 因此 f x dx f t t dt b a ( ) [( )] ( )       注：应用该方法时要注意换元的同时要换限。 例 1 计算   a a x dx 0 2 2 (a>0) 解      2 0 sin 0 2 2 cos cos  a x dx a t a tdt a 令x a t     2  0 2 2 0 2 2 (1 cos2 ) 2 cos   t dt a a tdt 2 2 0 2 4 1 sin 2 ] 2 1 [ 2 t t a a       提示 a x a a sin t acost 2 2 2 2 2      dxa cos t  当 x0 时 t0 当 xa 时 2  t   例 2 计算 cos xsin xdx 2 5 0  解 令 tcos x 则 cos xsin xdx cos xd cos x 2 5 0 2 5 0     6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos        t dt t dt t 令 x t  提示 当 x0 时 t1 当 2  x 时 t0

《高等数学》教案cos xsinxdx=-j.cosxdcosxcos-c+cos0-cos2*66例3计算Vsin3x-sin xdx.解Vsinxsin xdx=sinzxcosxldsinz xcosxdx-isin2 xcosxdx=I sin xdsin-Isin xdsinx-m-一--号提示：sinx-sin’x=sin'x(lsin2x)=sin2x|cosx在[0,]上|cos xcos x,在[,]上|cos x=cos x.例 4 计算,2d.0/2x+1+2解[+2. dt=→f(2 +3)dtJo /2x+1+3(+9)+3)提示：x=号，dt=dt当x=0时 =1，当x=4时=3.例5证明：若f(x)在[-a,a]上连续，则1）若f(x)为偶函数[,(x)dx=2ff(x)dx2）若f(x)为奇函数，则f(-x)+f(x)=0证明因为" (x)dx=。(x)dx+J° (x)dx,L ()dx -T(-0dt= (-1)dt=(-x)d,而所以若f(n)为偶函数[J(x)dx=°(-r)dx+J(x)dx=(-x)+(x)x=,2(x)dx=2° (x)dx若f(n)为奇函数，则f(-x)+f(x)=0，从而(x)dx=(-x)+(x)dx=0例6若f(x)在[0,1]上连续，证明10

《高等数学》教案 10 或 cos xsin xdx cos xd cos x 2 5 0 2 5 0     6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 2 6 6 0 6       x  例 3 计算    0 3 5 sin x sin xdx  解 sin x sin xdx sin 2 x|cos x|dx 3 0 0 3 5              2 2 3 2 0 2 3 sin xcos xdx sin xcos xdx        2 2 3 2 0 2 3 sin xd sin x sin xd sin x 5 4 ) 5 2 ( 5 2 sin ] 5 2 sin ] [ 5 2 [ 2 2 5 2 0 2 5         x x  提示 sin sin sin (1 sin ) sin |cos | 2 3 3 5 3 2 x x  x  x  x x  在 ] 2 [0,  上|cos x|cos x 在 , ] 2 [   上|cos x|cos x 例 4 计算 dx x x   4  0 2 1 2  解             3 1 2 3 1 2 4 2 1 0 ( 3) 2 1 2 2 1 2 1 2 tdt t dt t t dx x x 令 x t 3 22 3)] 3 1 9) ( 3 27 [( 2 1 3 ] 3 1 [ 2 1 3 1 3  t  t       提示 2 1 2   t x  dxtdt 当 x0 时 t1 当 x4 时 t3 例 5 证明 若 f (x)在[a a]上连续 则 1） 若 f (x)为偶函数     a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( )  2） 若 f (x)为奇函数 则 f (x)f (x) 0 证明 因为 f x dx f x dx f x dx a a a a ( ) ( ) ( ) 0 0         而             a a a x t a f x dx f t dt f t dt f x dx 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 令  所以若 f (x)为偶函数        a a a a f x dx f x dx f x dx 0 0 ( ) ( ) ( )          a a a a f x f x dx f x dx f x dx 0 0 [ ( ) ( )] 2 ( ) 2 ( )  若 f (x)为奇函数 则 f (x)f (x) 0 从而 ( ) [ ( ) ( )] 0 0        a a a f x dx f x f x dx  例 6 若 f (x)在[0 1]上连续 证明