3.稳定性的基本定义 ：前给中理们从力学角度引进了最解力学则统的平唯位置或者它的某解特殊， 杂的稳定明的概给.现：的问题是如何：数学上个究力学则统的稳定明问题。数用 数学方法个究力学则统的稳定明，首先必须建定描述力学则统的数学模型。理们： 常微分方程和程中已经因唯了，最解力学则统，例如连单摆则统，弹明震杂则统等 等，可以用最解常微分方程来描述.参名数学物理学家拉格郎日：18世纪就已经证 明了，：最般情况对任何最解力学则统都可以用微分方程来描述，今天理们偏这解 微分方程为拉格郎日方程。如今理们已经比道了不仅只是力学则统，电力则统，生 态则统，经济则统，有制则统等等，：最般情况对都可以用最解微分方程描述 当最解力学则统用最解微分方程来描述时，这解力学则统的平唯位置或者它的 某解特殊，杂就积应于微分方程的最解特殊解从而关于力学则统的平唯位置或者 它的某解特殊，杂的稳定明就可以用微分方程的最解特殊解的稳定明来刻定.那么 如何：数学上积最解微分方程的待殊解的稳定明进行描述呢？参名数学家李雅它诺 夫：19世纪90年代首先从数学上给出了微分方程的解的稳定明概给，着就是理们 今天所说的李雅它诺夫意果对的稳定明.的来，经过半解世纪的发展，唯了20世 纪0年代，微分方程的解的稳定明概给就已经发展缩为了最解非常丰富的理论体 则.对必理们就来这细介绍微分方程的解的稳定明定果。 考虑最般的n维常微分方程程 奈=北到 (3.1) 其中t∈R+=O,o∞)为时间变量，x∈R"为状态变量.设G是R中的最解 区域.设n维向量参数f(化，x)：R+×G上有定果，连续，理且关于x满足局部 的Lipschitz条复.这样，合常微分方程初值问题的解的存：唯最明定理得比，积 任何的(to,xo)∈R+×G,方程程(3.1)都存：唯最的满足初始条复x(to)=0的解 =(t,to,zo). 22
§3. hz}t^z ℄G4-d >=ÆdKRE >byQr{/ Ry8EV4 y 3y:G yX'~m =>ET >by 3X =l =>$ ET >by 31(58 1: >by=>6/ - Ir,$QlQ4XO uRE >b~ nbp3 b{ {iYlREIr,$Q{1: >4=>>(yC~| 18 $&UXO# 3 RetymRE >b iYlr,$Q{1:H[-NE r,$QwyC~|$Q ~H-XO$v7J+' >b b TbO bo0b{{ Ret iYlREr,$Q{1: qRE >blREr,$Q{1:E >byQr{/ Ry 8EV4 Uerr,$QyREV4E dYr >byQr{/ Ry8EV4 y 3UiYlr,$QyREV4Ey 3{k{ <) ~m =>REr,$QyV4Ey 3K11:Æ>4=>(CRJ / 19 $& 90 Fk1d=>GYr,$QyEy 3:GEU'- H[PByCRJ/^`y 3 u{OaE$&y u 20 $ & 50 Fkr,$QyEy 3:GUXO OwRE*I-6y!Y 0-U{G r,$QyEy 3 ` e Ry n xIr,$QQ dx dt = f(t, x) (3.1) T4 t ∈ R+ = [0, ∞) w., x ∈ Rn wCT, G ' Rn 4yRE ix n x f= f(t, x) R+ × G o ` 92aYr x &OW: y Lipschitz \4 MnIr,$QX)XyEyf uR3 w$ ymy (t0, x0) ∈ R+ × G, $QQ (3.1) f uRy&OX \4 x(t0) = x0 yE x = x(t, t0, x0). 22
设x=x()是方程组(3.1)的定义在整个R+=[0,o∞)上，并且始终位于区域 G内的一个特解.显然，特解x*()也可以是方程组(3.1)的一个平衡点x.特别 地，当方程组(3.1)退化为如下的自治方程组 密-fo (3.2) 则它的平衡点x*由方程f(x)=0解出. 我们首先叙述下面的出于方程组(3.1)的解的稳定性的基本定义. 定义3.1a).若对任给的充分小常数e>0和初始时刻0∈R4总存在常数 6=(c,to)>0,使得对所有满足不等式 Izo-z"(to)I<6(e,to) (3.3) 的初始值xo∈G,方程组(3.1)的解x(t,to,o)都在t≥to上有定义，并且对一切 的t≥to有 r(t,to,xo)-x*(t川<e, (3.4) 则称解x=x()是稳定的. b).如果解x=x()不是稳定的，即若存在常数e>0和初始时刻to∈R+,使 得对任给的充分小常数6>0都至少有一个满足不等式 lzo-z"(to)<6 (3.5) 的初始值x0∈G方程组(3.1)的解x(化，to,x0)在某一个>t0处或者无定义或者 有 x(t,to,xo)-x*(e)引≥c, (3.6) 则称解x=x(①)是不稳定的. c.如果在上面解x=x(④)稳定的定义中，(e,to)与初始时刻o无关，即对任 给的充分小常数e>0,总存在常数6=(e)>0,使得对所有的初始时刻o∈R+ 和满足不等式 lzo-z*(to)I<6(e) (3.7) 23
x = x ∗ (t) '$QQ (3.1) y ` !E R+ = [0, ∞) 2a 5{rix G AyREVE sVE x ∗ (t) PiY'$QQ (3.1) yREQr x ∗ . V0 q$QQ (3.1) i}w~yJ3$QQ dx dt = f(x), (3.2) RyQr x ∗ n$Q f(x) = 0 EY -17:0yYr$QQ (3.1) yEy 3y" ` { 3.1 a). M[KgPa;a ǫ > 0 uAXU t0 ∈ R+, 9H!;a δ = δ(ǫ, t0) > 0, WO[d0:7QY |x0 − x ∗ (t0)| < δ(ǫ, t0) (3.3) PAX, x0 ∈ G, ^?; (3.1) P x(t, t0, x0) X! t ≥ t0 OW6B[ÆA P t ≥ t0 |x(t, t0, x0) − x ∗ (t)| < ǫ, (3.4) "= x = x ∗ (t) ℄vWP b). Lo x = x ∗ (t) 7℄vWPMH!;a ǫ > 0 uAXU t0 ∈ R+, W O[KgPa;a δ > 0 X.PÆf0:7QY |x0 − x ∗ (t0)| < δ (3.5) PAX, x0 ∈ G, ^?; (3.1) P x(t, t0, x0) !7Æf t ∗ > t0 D{%yW{% |x(t ∗ , t0, x0) − x ∗ (t ∗ )| ≥ ǫ, (3.6) "= x = x ∗ (t) ℄7vWP c). Lo!O5 x = x ∗ (t) vWPW3 δ(ǫ, t0 ) AXU t0 yl[K gPa;a ǫ > 0, 9H!;a δ = δ(ǫ) > 0, WO[dPAXU t0 ∈ R+ u0:7QY |x0 − x ∗ (t0)| < δ(ǫ) (3.7) 23
的初始值xo∈G,方程组(3.1)的解x-x(t,to,o)都在t≥to上有定义，并且对 一切的t≥to有 l(t,to;zo)-z"(t)< (3.8) 则称解x=x()是一致稳定的. 仔细分析上述关于研x=x(①的稳定和一致稳定的定义，我们叙难看到，所谓 x=x()稳定，作是指对任何的o∈R+,极限 四o（r6,o,2o)-xr()=0 致地对一果t∈[to,o∞)成定.而x=x()一致稳定，作是指极限 盟化，o,o-x()=0 一致地对一果to∈R4和t∈o,∞)成定 此外，关于研x=工()稳定，一致稳定和叙稳定的于何描述我们果下必的图 形 定，3.2a.若对任给的初始就刻o∈R+,总存在常数n(to)>0,使得对所有 满述不程式 lxo-z"(to)I<n(to) (3.9) 的初始值x0∈G,方程组(3.1)的解x=x(t,to,0)在t≥to上有定义，并且有化 限 lim(r(t,to,ro)-z"(t))=0. (3.10) 24
PAX, x0 ∈ G, ^?; (3.1) P x = x(t, t0, x0) X! t ≥ t0 OW6B[ ÆAP t ≥ t0 |x(t, t0, x0) − x ∗ (t)| < ǫ, (3.8) "= x = x ∗ (t) ℄Æ/vWP H,:YrE x = x ∗ (t) y lR. y `-7> uP| x = x ∗ (t) U'*ymy t0 ∈ R+, lim x0→x∗(t0) (x(t, t0, x0) − x ∗ (t)) = 0 R.R` t ∈ [t0, ∞) O x = x ∗ (t) R. U'* lim x0→x∗(t0) (x(t, t0, x0) − x ∗ (t)) = 0 R.R` t0 ∈ R+ l t ∈ [t0, ∞) O bkYrE x = x ∗ (t) R. l7 y m1:-o0yf 0 { 3.2 a). M[KgPAXU t0 ∈ R+, 9H!;a η(t0) > 0, WO[d 0:7QY |x0 − x ∗ (t0)| < η(t0) (3.9) PAX, x0 ∈ G, ^?; (3.1) P x = x(t, t0, x0) ! t ≥ t0 OW6B} ~ lim t→∞ (x(t, t0, x0) − x ∗ (t)) = 0, (3.10) 24
设就是，对任给的充分小常数c>0,总仔在常数T=T(c,to,0)>0,使得当 t≥to+T时有 (t,to,zo)-z"(t)<, (3.11) 则域性称解x=x(①是吸引的. b).如果在成义定义中数n(to)和T(,to,0)均与to和0的关，地仔在常数 n>0,且对任给的充分小常数∈>0，总仔在常数T=T()>0,使得对任给的初始 时刻to∈R+和满述不程以 lzo-z*(to)<n (3.12) 的初始值0∈G,方程组(3.1)的解x=x(化，to,0)在t≥t0成有定义，并且当 t≥to+T时有 lx(t,to,xo)-z"(t)<e, (3.13) 则称解x=x()是一致吸引的. 式于解x=x()吸引和一致吸引的几何描述我们有下面的图面. 定，3.3).如果解x=x()我是稳定的，又是吸引的，则称解x=x()是 ，近稳定的. b).如果解x=x()我是一致稳定的，又是一致吸引的，则称解x=x()是 致，近稳定的。 进一步假设方程组(3.1)的右端函数f(tx)在整解R+×”上有解义，连续， 并且式于x满足定部的Lipschitz条件. 定，3.4a).如果对任给的初始时刻to∈R+和初始值x0∈R”,方程(1.1)的 25
℄[KgPa;a ǫ > 0, 9H!;a T = T(ǫ, t0, x0) > 0, WOK t ≥ t0 + T U |x(t, t0, x0) − x ∗ (t)| < ǫ, (3.11) "x3= x = x ∗ (t) ℄{P b). Lo!O`W3a η(t0) u T(ǫ, t0, x0) t0 u x0 ylH!;a η > 0, B[KgPa;a ǫ > 0, 9H!;a T = T(ǫ) > 0, WO[KgPAX U t0 ∈ R+ u0:7QY |x0 − x ∗ (t0)| < η (3.12) PAX, x0 ∈ G, ^?; (3.1) P x = x(t, t0, x0) ! t ≥ t0 OW6BK t ≥ t0 + T U |x(t, t0, x0) − x ∗ (t)| < ǫ, (3.13) "= x = x ∗ (t) ℄Æ/{P YrE x = x ∗ (t) dlR. dy m1:-o0yf0 { 3.3 a). Lo x = x ∗ (t) ℄vWP℄{P"= x = x ∗ (t) ℄ ÆvWP b). Lo x = x ∗ (t) ℄Æ/vWP℄Æ/{P"= x = x ∗ (t) ℄Æ /ÆvWP KR9* $QQ (3.1) ypf= f(t, x) !E R+ × Rn o ` 9 2aYr x &OW:y Lipschitz \4 { 3.4 a). Lo[KgPAXU t0 ∈ R+ uAX, x0 ∈ Rn , ^? (1.1) P 25
解x=x(t,to,xo)题在t≥to上有局义，并且有极限 lim((t,to,ro)-z*(t))=0, (3.14) 则数解x=x()是全积来引所， 队如果对任稳分大常数M>0唯充分小苦数c>0总存在暂数T= T(M,使缩对任溷初初就刻t和∈R+唯满足龙等式 lo -z*(to)I M (3.15) 所初初值o∈，方程组(3.1)所解x(化，o,o)题在t≥to上有局义，并且当 t≥o+T就有 z(t,to,xo)-x(川<e (3.16) 则数解x=x()就全积一致来引所. 关于解x=x国有局吸引和有局一致吸号引定何描述我们果下形定形 定义3.5a).如果解x=x()既是稳局所，又是全积来引所，则数解x=x() 是全积，近稳局所. b).如果解x=x()既是一致稳局所，又是全积一致来引所，则数解x=x() 是全积一致，近稳局所. 新得内意定连上述稳绍，吸引和渐近稳绍定个绍义中，空间”定1 可以是任何一种，并且连不同模人意义下这些绍义是彼此定价正留作习题)。 根据常微分方组定对初新足部性，我们不难证性，连上述关于解定绍，解 定引，解定近稳绍，解定局吸引，以及解定局渐近稳绍定义中可以关某 26
x = x(t, t0, x0) X! t ≥ t0 OW6B}~ lim t→∞ (x(t, t0, x0) − x ∗ (t)) = 0, (3.14) "= x = x ∗ (t) ℄H{P b). Lo[KgPaI;a M > 0 ua;a ǫ > 0, 9H!;a T = T(M, ǫ), WO[KgPAXU t0 ∈ R+ u0:7QY |x0 − x ∗ (t0)| < M (3.15) PAX, x0 ∈ Rn , ^?; (3.1) P x(t, t0, x0) X! t ≥ t0 OW6BK t ≥ t0 + T U |x(t, t0, x0) − x ∗ (t)| < ǫ, (3.16) "= x = x ∗ (t) UHÆ/{P YrE x = x ∗ (t) oW dloWR. dy m1:-o0yf0 { 3.5 a). Lo x = x ∗ (t) ℄vWP℄H{P"= x = x ∗ (t) ℄HÆvWP b). Lo x = x ∗ (t) ℄Æ/vWP℄HÆ/{P"= x = x ∗ (t) ℄HÆ/ÆvWP )wA^y' : dl7M yFE `4n. Rn y6 | · | iY'ymR62a 7_6y^`$ `'%b{+y (U X). HZIr,$QyEX)y 93-7>#3 :YrEy E y dEy7M EyoW dYEyoW7M y `4iYl8 26