于是，计算x=()在t=m处的左导数，则有（留作习题 6lem=fm,pm》. 北 因此，我们最终有 d6len=fm,m儿 dt 这表明x=()在t=m满足方程组(2.1).所以，x=()是方程组(2.1)定义 于区间[o,m+)上的解.显然x=()是x=(①)的一个延拓解.矛盾.定理 证毕 作为解的延拓定理的推论，我们有下面的结果。 推论2.2对于方程组(2.1)，设区域2=R+×G,其性G∈R”是一函区域. 设x=()是方程组(2.1)定下于区间I=to,a)上的这行分和立，若存在有界闭 区域DCG使得(t)∈D对一切t∈I,则一定有a=∞，即立t)在[to,oo)上 有定下 下面我们继续研究方程组(2.1)的解关于初值的连续性问题。考虑初值问题 =f化以o)=n dx 其中初始点(，xo)∈2.由解的存在唯一性定理和解的延拓定理，我们得到这个初 值问题存在唯一的饱和解x=().显然，当初始点(to,0)在区域2内变动时， 解x=(①)也跟着变动.因此，解x=()可以看成是点（化，to,x0)的函数，即我 们有()=(t,to,o),它的定义域为区域 V={(t,to,xo):a(to,xo）<t<3to,xo),(to,xo)∈2}， 这里区间(a(to,o),3(to,xo)是解x=(t,to,xo)的最大存在区间，a(to,o)和 3(to,xo)是两个依赖于初始点(to,xo)的常数，且a(to,xo)≥-o,3(to,xo)≤+oo. 现在的问题是：函数x=(t,o,0)在其定义域V上是否为（化，o,xo)的连续函数， 下面为了叙述简便，我们始终记x-(:,to,xo)为方程组(2.1)满足初始条件 x(to)=o的解. 公
r'!K x = φ(t) t = m ℄ySt=o (U X) dφ(t) dt |t=m− = f(m, φ(m)). b-R5o dφ(t) dt |t=m = f(m, φ(m)). /3 x = φ(t) t = m &O$QQ (2.1). PY x = φ(t) '$QQ (2.1) ` ri. [t0, m + β) yE s x = φ(t) ' x = φ(t) yREFjE ( #& UwEyFj yh!-o0yD` ^9 2.2 [ ^?; (2.1), RE Ω = R+ × G, ?3 G ∈ Rn ℄ÆfE R x = φ(t) ℄^?; (2.1) W E I = [t0, α) OP,u MH! / E D ⊂ G WO φ(t) ∈ D [ÆA t ∈ I, "ÆW α = ∞, φ(t) ! [t0, ∞) O W 0-%9ET$QQ (2.1) yEYrX)y 93X e X)X dx dt = f(t, x), x(t0) = x0, T4X (t0, x0) ∈ Ω. nEyf uR3 lEyFj -wuEX )Xf uRy lE x = φ(t). sqX (t0, x0) ix Ω A, E x = φ(t) PIE, bE x = φ(t) iY O' (t, t0, x0) yf= -o φ(t) = φ(t, t0, x0), Ry `xwix V = {(t, t0, x0) : α(t0, x0) < t < β(t0, x0), (t0, x0) ∈ Ω}, i. (α(t0, x0), β(t0, x0)) 'E x = φ(t, t0, x0) yRif i. α(t0, x0) l β(t0, x0) 'ÆET|rX (t0, x0) yI=a α(t0, x0) ≥ −∞, β(t0, x0) ≤ +∞. yX' f= x = φ(t, t0, x0) T `x V '.w (t, t0, x0) y 9f= 0w7:0+- 5" x = φ(t, t0, x0) w$QQ (2.1) &OX \4 x(t0) = x0 yE 17
引理2.1它函数f(t,x)计区域DCD上连续，且关于x满足Lipschitz条 件，L为相应的Lipschitz常数.它x=(t)到x=()是方程组(2.1)的唯于区 域D内的是存解，且定义于大共区间[a,)上.它to∈a,.记我们即 lo0-v≤loo)-v(to)le-o,t∈a,小. 证明在引入辅助函数 V()=((e)-w(t)2, 则在其公共区间[a,)上有 V0=2o0-eef化，o)-ft,e》 dt 根据Lipschitz条件，我们进一步有 -2vgsV0≤2v0,tea,4. dt 当t∈to,时，得到 In V(t)-In V(to)<2L(t-to). V()≤V(o)e2L(t-to). 当t∈[a,td时，得到 In V(to)-In V(t)>-2L(to-t). 即 V(e≤V(to)e2Lo-. 于是 V0≤V(o)e2啡-o,t∈la,小 两边取平方根即得引理结论.引理证毕. 18
2 2.1 Rra f(t, x) !E D ⊂ Ω O&Bl x 0: Lipschitz i L sP Lipschitz ;a R x = φ(t) u x = ψ(t) ℄^?; (2.1) Pu E D 9P'f BW ijE [a, b] O R t0 ∈ [a, b]. "x3 |φ(t) − ψ(t)| ≤ |φ(t0) − ψ(t0)|e L|t−t0| , t ∈ [a, b]. < d2?f= V (t) = (φ(t) − ψ(t))2 , TOPi. [a, b] o dV (t) dt = 2(φ(t) − ψ(t))(f(t, φ(t)) − f(t, ψ(t))). HZ Lipschitz \4-KR9o −2LV (t) ≤ dV (t) dt ≤ 2LV (t), t ∈ [a, b]. q t ∈ [t0, b] wu ln V (t) − ln V (t0) ≤ 2L(t − t0). V (t) ≤ V (t0)e 2L(t−t0) . q t ∈ [a, t0] wu ln V (t0) − ln V (t) ≥ −2L(t0 − t). V (t) ≤ V (t0)e 2L(t0−t) . r' V (t) ≤ V (t0)e 2L|t−t0| , t ∈ [a, b]. Æ*kQ$HwdD! d#& 18
引理2.2它(to,xo)∈2，x=(t,to,x0)是方程组(2.1)定义于表区间[a,上 的解，且a<to<b.则对算何e>0存在6=(e,a,b)>0,且6不依赖于(to,xo) 使成当(s0-to)2+(0-0)2<62时方程组(2.1)的解x=(t,s0,0)在区间[a,) 上也有定义，并且满足 (t,s0,)-p(t,to,o川<，t∈a,. 证明为了叙足简便，理们记()=(t,t0,o)和(t)=(t,s0,o).首先， 由于曲留段 S={t,x):x=(t),t∈[a,} 是区域2中的有界闭集，又由于f(化，x)在2上关于x毕足局部的Lipschitz条 件，因此函在一个包含S的有界闭区域DC2城得f化，x)在此区域上关于x毕 足Lipschitz条件，辅且S到区域D的边界的距离p(S,aD)=po>0(留作习题 设Lipschitz常数为L. 对任给的0<c<po,理们断言，必函在正数6=6c,a,b)>0,且6<6，域得只 要初始点(0，)毕足 (s0-to)2+(0-x0)2<62, (2.9) 则解x=()在区间a,)上必有定义， 继实上，由于D是有界闭区域，因此根据解的延拓定理，解x=()必能延拓 到区域D的边界上.设它在D的边界上的点为(c,(c)和(d,(d),且c<d.显 然只需证明c≤a和d≥b.由于to∈(a,b),故只要6取的足够小，就可以域得毕 足条件(2.9)的s0也有s0∈(a,b).假设d<b,则由引理0.1得知在解x-()和 x=(①的公共定义区间[s,d上有 |()-p(t川≤l(so)-(so)le4-l (2.10) 由于x=(t)关于t在续，因此对d=eLb-,函在0<6=(e,a,b)<d1,城 得当|s0-to<6时有l(so)-(to川<6.于是，当条件(2.9)公立时在区间[so,d 19
2 2.2 R (t0, x0) ∈ Ω, x = φ(t, t0, x0) ℄^?; (2.1) W /E [a, b] O P B a < t0 < b. "[Kv ǫ > 0 H! δ = δ(ǫ, a, b) > 0, B δ 7 (t0, x0), WOK (s0 − t0) 2 + (y0 − x0) 2 < δ2 U^?; (2.1) P x = φ(t, s0, y0) !E [a, b] O W6B0: |φ(t, s0, y0) − φ(t, t0, x0)| < ǫ, t ∈ [a, b]. < w7:0+-" φ(t) = φ(t, t0, x0) l ψ(t) = φ(t, s0, y0). 1 nrj S = {(t, x) : x = φ(t), t ∈ [a, b]} 'ix Ω 4yoF'qnr f(t, x) Ω Yr x &OW:y Lipschitz \ 4 bf RE d S yoF'ix D ⊂ Ω w f(t, x) bixYr x & O Lipschitz \42a S uix D y*Fy℄ ρ(S, ∂D) = ρ0 > 0 (U X). Lipschitz I=w L. yGy 0 < ǫ < ρ0, -G(f "= δ = δ(ǫ, a, b) > 0, a δ < ǫ, w+ NX (s0, y0) &O (s0 − t0) 2 + (y0 − x0) 2 < δ2 , (2.9) E x = ψ(t) i. [a, b] (o ` %nr D 'oF'ix bHZEyFj E x = ψ(t) (BFj uix D y*F R D y*Fyw (c, ψ(c)) l (d, ψ(d)), a c < d. s+4#3 c ≤ a l d ≥ b. nr t0 ∈ (a, b), U+N δ kyOR"UiY w& O\4 (2.9) y s0 Po s0 ∈ (a, b). * d < b, nd 0.1 w$ E x = φ(t) l x = ψ(t) yOP `i. [s0, d] o |ψ(t) − φ(t)| ≤ |ψ(s0) − φ(s0)|e L|t−s0| . (2.10) nr x = φ(t) Yr t 9 b δ1 = 1 2 ǫe−L(b−a) , f 0 < δ = δ(ǫ, a, b) < δ1, wq |s0 −t0| < δ o |φ(s0)−φ(t0)| < δ1. r'q\4 (2.9) O i. [s0, d] 19
上我们有 l(t)-(t)2<l(so)-6(so)22L-s0l <((so)-(to)1+1(to)-o(so)1)2e2Llt-sol 2((so)-(to)2+(to)-(so))e2o (2.11) <2(lo-x0l+d的)e2Lb-a <4fe2o-a=2. 因此，l()-(t)1<e<po对一切t∈s0,齐别地有(d-(<po,即点 (d,(d)在区域D的内部.矛盾.因此解x-()在区间s,)上有定义.同理 可证，解x=()在区间[a,0上也有定义 由于解x=()在a,司上有定义，故x=()和x=()就有公共定义区间 [a,).于是不等式(2.10)在[a,上足立.这样我们可以在不等式(2.11)件将区间 s0,d换足[a,得知当条件(2.9)足立时就有 lp(t,so,0)-p(t,to,zo川<6，t∈a,1. 引理证毕。 应用引理2.2，我们能容易地证明下面的解对初值的连续性定理. 解对初值的连续性定理在方程组(2.1)的解x=(t,to,o)作为（化，o,x0)的函 数在其定义域V上是连续的。 这个定理的证明留作习题， 最后我们引入解对参数的连续性问题.考虑含有参数入∈m的微分方组组 应=f化，五，. (2.12) 用G表示+m件的区域.我们假设向端函数f化，x,)在G上连续，并且在 G,内一致地对参数入关于x满足局部的Lipschitz条件.也就是说，对任何点 (o,x0,o)∈G,存在它的一个邻域U和一个与入无关的正数L=L(to,0),使得 对任何(，)，（化，x2,)∈U都有 lft,1,)-f(t,2,A川≤1-x2l 20
-o |ψ(t) − φ(t)| 2 ≤ |ψ(s0) − φ(s0)| 2 e 2L|t−s0| ≤ (|ψ(s0) − φ(t0)| + |φ(t0) − φ(s0)|) 2 e 2L|t−s0| ≤ 2(|ψ(s0) − φ(t0)| 2 + |φ(t0) − φ(s0)| 2 )e 2L|t−s0| < 2(|y0 − x0| + δ 2 1 )e 2L(b−a) < 4δ 2 1 e 2L(b−a) = ǫ 2 . (2.11) b |ψ(t) − φ(t)| < ǫ < ρ0 R` t ∈ [s0, d], V0o |ψ(d) − φ(d)| < ρ0, (d, ψ(d)) ix D yA: ( bE x = ψ(t) i. [s0, b] o ` _ i#E x = ψ(t) i. [a, s0] Po ` nrE x = ψ(t) [a, b] o `U x = φ(t) l x = ψ(t) UoOP `i. [a, b]. r'7{! (2.10) [a, b] O M-iY 7{! (2.11) 49i. [s0, d] O [a, b], w$q\4 (2.9) O Uo |φ(t, s0, y0) − φ(t, t0, x0)| < ǫ, t ∈ [a, b]. d#& eld 2.2, -B}[#30yEX)y 93 #}pu5~{2 ^?; (2.1) P x = φ(t, t0, x0) =s (t, t0, x0) Pr a!?W V O℄&P E y#3U X Ru-dE>=y 93X e do>= λ ∈ Rm yr,$QQ dx dt = f(t, x, λ). (2.12) l Gλ /" Rn+m 4yix -* f= f(t, x, λ) Gλ 92a Gλ AR.>= λ Yr x &OW:y Lipschitz \4 PU'Bym (t0, x0, λ0) ∈ Gλ, f RyREx U lREv λ Yy"= L = L(t0, x0), w ym (t, x1, λ), (t, x2, λ) ∈ U o |f(t, x1, λ) − f(t, x2, λ)| ≤ L|x1 − x2|. 20
由区的存在和一性定理和区的延拓定理，下任何点(to,o,o)∈G,方程组 密=xb 方过题始点(to,0)存在和一的饱和区x=(t,o,x0,),且它的最大存在区间为 (a(to:zo.Xo),B(to.ro,o)). 以于区x-(化，to,xo,o)下题值(to,0)和参数o的在续性，我们有下面的定 理 解对初值和参数的连续如定理：方程组(2.12)的解x=(t,t0,x0,0)作为 (t,to,o,入o)的函数在其定义域 V={(t,to,ro,Ao)a(to,zo,Ao)<t<B(to,ro,Ao),(to,ro,Ao)Ga} 上是连续的. 此定理的证明比其复杂，我们省略. 21
nEyf uR3 lEyFj ym (t0, x0, λ0) ∈ Gλ, $QQ dx dt = f(t, x, λ0) ^aX (t0, x0) f uRy lE x = φ(t, t0, x0, λ0), aRyRif i.w (α(t0, x0, λ0), β(t0, x0, λ0)). YrE x = φ(t, t0, x0, λ0) X) (t0, x0) l>= λ0 y 93-o0y #}pfVu5~{2 ^?; (2.12) P x = φ(t, t0, x0, λ0) =s (t, t0, x0, λ0) Pra!?W V = {(t, t0, x0, λ0) : α(t0, x0, λ0) < t < β(t0, x0, λ0), (t0, x0, λ0) ∈ Gλ} O℄&P b y#3$?4 - 21