第一章绪论 教学目的：掌握常微分方程的基本概念，会建立一些简单的常微分方程。 数学分析研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但大量实际问题中 反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出，而这些变量与它们的导数之间的关系确比较容易求 出。称联系着自变量、未知函数及它的导数（微分）的关系式为微分方程。 §1.1微分方程：某些物理过程的数学模型 例1：物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中，测量得它的温度为4。=150C,10分钟后测量得温度为私=100°C,我 们要求决定此物体的温度和时间1的关系，并计算20分钟后物体的温度，这里我们假定空气的温度保持 为4。=24C 分析：首先根据牛顿冷却定理来建立数学模型，由于物体的温度变化与这一物体的温度和其所在介质温度 的老成比风。段物体在1时刻的温度为=)，。密衣示温度的变化。又因为站总是从高温物 体向低温物体传到，所以温差1一儿，>0，又因为物体随时间冷却，故温度的变化血<0即得到数 at 学模型为： 密-)a 这里k>0是比例常数。 程)中含有未知函数4及一阶导数化，所以我们称之为一阶微分方程：而我们要求的是拉 的温度和时间1的关系，所以需要我们求解方程(1.)，解得 ="。+ce地(1.2) 其中℃为任意常数，这是在一般情况下物体冷却过程中的温度与时间的变化关系，具有一般性，所以对方 程(1)而言，我们称之为微分方程的通解，注意因为是一阶微分方程，所以在其通解中只有一个任意常 数c 为了进一步求得在我们所给具体条件下的温度与时间的关系，根据题意给出一些定解条件。 如“初始条件”：当1=0时，u=,代入方程求得c=一4，于是 u=4.+(4-w)eh(1.3) 第1页共8页
第 1 页 共 8 页 第一章 绪论 教学目的：掌握常微分方程的基本概念，会建立一些简单的常微分方程。 数学分析研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系，但大量实际问题中， 反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出，而这些变量与它们的导数之间的关系确比较容易求 出。称联系着自变量、未知函数及它的导数（微分）的关系式为微分方程。 §1. 1 微分方程：某些物理过程的数学模型 例 1：物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中，测量得它的温度为 0 u C =150 ，10 分钟后测量得温度为 1 u C =100 ，我 们要求决定此物体的温度 u 和时间 t 的关系，并计算 20 分钟后物体的温度，这里我们假定空气的温度保持 为 24 a u C = 分析：首先根据牛顿冷却定理来建立数学模型，由于物体的温度变化与这一物体的温度和其所在介质温度 的差成比例。设物体在 t 时刻的温度为 u u t = ( ) ， du dt 表示温度的变化，又因为热量总是从高温物 体向低温物体传到，所以温差 0 a u u − ，又因为物体随时间冷却，故温度的变化 0 du dt 即得到数 学模型为： ( a ) (1.1) du k u u dt = − − ， 这里 k 0 是比例常数。 方程 (1.1) 中含有未知函数 u 及一阶导数 du dt ，所以我们称之为一阶微分方程。而我们要求的是物体 的温度 u 和时间 t 的关系，所以需要我们求解方程 (1.1) ，解得 (1.2) kt a u u ce − = + 其中 c 为任意常数，这是在一般情况下物体冷却过程中的温度与时间的变化关系，具有一般性，所以对方 程 (1.1) 而言，我们称之为微分方程的通解，注意因为是一阶微分方程，所以在其通解中只有一个任意常 数 c。 为了进一步求得在我们所给具体条件下的温度与时间的关系，根据题意给出一些定解条件。 如“初始条件”：当 t = 0 时， 0 u u = ，代入方程求得 0 a c u u = − ，于是 ( 0 ) (1.3) kt a a u u u u e − = + −
如果确定了k的值，(1.3)就完全决定了温度山与时间1的关系。在根据条件1=10，u=4,得到 4=%+(4-u)eot, 由此=h受之将以上各发据代入求有：051，从质 u=24+126ea05u(（1.4) 称(14)为方程(1.)的特解。根据方程(14)就可以计算出任何时刻1，物体的温度的数值。 通过方程1.4)我们还可以看出当1→0时，u→24C,，事实上，经过2小时，物体的温度就已经 接近24C了。 通过此例1，我们可以简单总结用微分方程解决实际问题的基本步骤： (】)建立实际问题的数学模型即建立反映这个实际问题的微分方程： (2)解这个微分方程： 用所得的数学结果解释实际问盟，从而预测到某些物理过程的特定性质。 (4) 注：建立一些实际问题的数学模型一般是比较困难的，这就婴求我们掌握各学科基础知识。其次，在建 立数学棋型时，我们只能考忠影响这个物理现象的一些主要因素，而忽略一些次要因素，否则所得到 微分方程变的复杂，无法用数学分析的方法研究其解的性质。 例2。数学摆的原理：数学摆是系于一根长度为的线上而质量为m的质点M,在重力作用下，它在垂 直于地面的平面上沿圆周运动，我们要确定摆的运动。 分析：设取反时针运动的方向作为计算摆于铅垂线所成的角©的正方向，质点M沿圆周的切向速度v可 以表示为v=21,其中2表示角速度，1表示摆线长度，根据牛顿第二定律： at dt 培限mp, 将空1且代整理即司 器-9mp列 称方程(1.S)为二阶微分方程。当p比较小时，可以近似用p替代sip。则可得到微小振动时摆的 运动方程 +p=016 称方程(1.6)为二阶线性微分方程。 第2页共8页
第 2 页 共 8 页 如果确定了 k 的值， (1.3) 就完全决定了温度 u 与时间 t 的关系。在根据条件 1 t u u = = 10, ，得到 ( ) 10 1 0 k a a u u u u e − = + − ， 由此 0 1 1 ln 10 a a u u k u u − = − ，将以上各数据代入求得 k 0.051 ，从而 ( ) 0.051 24 126 1.4 t u e − = + ， 称 (1.4) 为方程 (1.1) 的特解。根据方程 (1.4) 就可以计算出任何时刻 t ，物体的温度 u 的数值。 通过方程 (1.4) 我们还可以看出当 t → 时， u C → 24 ，事实上，经过 2 小时，物体的温度就已经 接近 24 C 了。 通过此例 1，我们可以简单总结用微分方程解决实际问题的基本步骤： （1） 建立实际问题的数学模型即建立反映这个实际问题的微分方程； （2） 解这个微分方程； （3） 用所得的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质。 （4） 注：建立一些实际问题的数学模型一般是比较困难的，这就要求我们掌握各学科基础知识。其次， 在建 立数学模型时，我们只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而忽略一些次要因素，否则所得到 微分方程变的复杂，无法用数学分析的方法研究其解的性质. 例 2. 数学摆的原理：数学摆是系于一根长度为 l 的线上而质量为 m 的质点 M ，在重力作用下，它在垂 直于地面的平面上沿圆周运动，我们要确定摆的运动。 分析：设取反时针运动的方向作为计算摆于铅垂线所成的角 的正方向，质点 M 沿圆周的切向速度 v 可 以表示为 d v l dt = ，其中 d dt 表示角速度， l 表示摆线长度，根据牛顿第二定律： sin dv m mg dt = − ， 将 d v l dt = 且代入整理即得， ( ) 2 2 sin 1.5 d g dt l = − ， 称方程 (1.5) 为二阶微分方程。当 比较小时，可以近似用 替代 sin 。则可得到微小振动时摆的 运动方程 ( ) 2 2 0 1.6 d g dt l + = ， 称方程 (1.6) 为二阶线性微分方程
如果进一步考虑假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么沿者摆的运动方向就存在一个与速度v成比 例的阻力，如果阻力系数是“，则摆的运动方程变为 架+片出+p=0) 如果沿者摆的运动方向恒有一个外力F()作用于它，这是摆的运动称为强迫微小振动，其方程为 器+品路+0-P00刘 当要确定摆销某一个特定的运动时。我们应该给出摆的初治状态：当=0时，口=风安=8，其中，风 代表摆的初始位置，©，代表摆的初始角速度。 本教材：我们主要掌握从以下四个方面学习：(1)掌握一些简单的常徽分方程的求解，(2)掌握常徽分方 程的基本理论，(3)掌握高阶线性徽分方程（线性微分方程组）的求解这是重点也是难点，(4)了 解现代定性理论的基本思想和方法。 §1.2基本概念 1、常徽分方程与偏徽分方程： 在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程：自变量的个数有两个 微分方程。在本教材我们主要研究常微分方程。 微分方程中未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。一般的阶微分方程用下列形式表示： dy 2、线性和非线性： 如果方列的在紫为y及密.票的-次有整式帮和9为和货性数分方是 d" 例如 盘-小 0 一般n阶线性微分方程具有形式： +a盟是++a2+a国y因0 dr" 特别的：若f(x)=0,(1.10)称为齐次线性微分方程，否则称为非齐次线性微分方程。 第3页共8页
第 3 页 共 8 页 如果进一步考虑假设摆是在一个粘性的介质中摆动，那么沿着摆的运动方向就存在一个与速度 v 成比 例的阻力，如果阻力系数是 ，则摆的运动方程变为 ( ) 2 2 0 1.7 d d g dt m dt l + + = 如果沿着摆的运动方向恒有一个外力 F t( ) 作用于它，这是摆的运动称为强迫微小振动，其方程为 ( ) ( ) 2 2 1 1.8 d d g F t dt m dt l ml + + = 当要确定摆的某一个特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态：当 t = 0 时， 0 0 , d dt = = ，其中， 0 代表摆的初始位置， 0 代表摆的初始角速度。 本教材：我们主要掌握从以下四个方面学习：（1）掌握一些简单的常微分方程的求解，（2）掌握常微分方 程的基本理论，（3）掌握高阶线性微分方程（线性微分方程组）的求解这是重点也是难点，（4）了 解现代定性理论的基本思想和方法。 §1. 2 基本概念 1、常微分方程与偏微分方程： 在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数有两个 或两个以上，我们称为时偏微分方程。前面的例 1、例 2 均为常微分方程。 222 2 2 2 0 TTT x y z + + = 就是变 微分方程。在本教材我们主要研究常微分方程。 微分方程中未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。一般的 n 阶微分方程用下列形式表示： ( ) 2 2 , , , , , 0 1.9 n n dy d y d y F x y dx dx dy = 2、 线性和非线性： 如果方程 (1.9) 的左端为 y 及 , , n n dy d y dx dy 的一次有理整式，称 (1.9) 为 n 阶线性微分方程。 例如： ( a ) du k u u dt = − − ； 2 2 0 d g dt l + = 一般 n 阶线性微分方程具有形式： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1.10 n n n n n n d y d y dy a x a x a x y f x dx dx dx − + + + + = − − 特别的：若 f x( ) 0，(1.10) 称为齐次线性微分方程，否则称为非齐次线性微分方程
不是线性微分方程就称为非线性方程。如 -是smp dt 3、解和隐式解 如果函数y=p(x)代入方程(1.9)后，能使它变为恒等式，则称函数y=(x)是方程(1.9)的解：如 果关系式④(x,y)=0决定的隐函数y=p(x)是(1.9)的解，则称④(x,y)=0是(19)的隐式解 例如：一阶微分方程，念=-子有解y=F和y=一子，而关系式+P=1是其隐式锅 4、通解和特解 我们把含有n个独立的任意常数C,C2,Cn的解y=p(x,G,C2,.,C)称为n阶方程(1.9)的通解 同样，可以定义隐式通解，也称通积分。 对通解的几点说明：(1)一个n阶微分方程的通解包含n个独立常数G,C2,C,什么是独立常数？ 其含义是Jacobi行列式： 8p p 8p dc. dc. de. D[,o,.,p-]d p c,≠0 D[9,c2,.,c] apa-loa- 0c1 其中：p=p(xG,.,Cn）,p='(x,G,2,.,c)，.,p=-(x,G,2,） (2)设y=g(x,G1,C2,.,Cn)是充分光滑的函数族，其中x是自变量，G,C2,.,Cn是n个独立常数，则 存在一个形如(1.9)的n阶徽分方程，使得它的通解恰好是上面给定的函数族y=g(x,G,C2,c)· 例1：求双参数函数族 y=Ce'cosx+Ce'sinx (* 所满足的微分方程。 解：事实上，对上式两边关于x求导两次，得到： y'=Ce"(cosx-sinx)+C,e*(sinx+cosx)(1) y"=Ce*(-2sinx)+Ce*(2cosx) (2) 计算其Jacobi行列式： 第4页共8页
第 4 页 共 8 页 不是线性微分方程就称为非线性方程。如 2 2 sin d g dt l = − 。 3、解和隐式解 如果函数 y x = ( ) 代入方程 (1.9) 后，能使它变为恒等式，则称函数 y x = ( ) 是方程 (1.9) 的解；如 果关系式 = ( x y, 0 ) 决定的隐函数 y x = ( ) 是 (1.9) 的解，则称 = ( x y, 0 ) 是 (1.9) 的隐式解。 例如：一阶微分方程： dy x dx y = − ，有解 2 y x = −1 和 2 y x = − −1 ，而关系式： 2 2 x y + =1 是其隐式解。 4、 通解和特解： 我们把含有 n 个独立的任意常数 1 2 , , , n c c c 的解 y x c c c = ( , , , , 1 2 n ) 称为 n 阶方程 (1.9) 的通解， 同样，可以定义隐式通解，也称通积分。 对通解的几点说明：（1）一个 n 阶微分方程的通解包含 n 个独立常数 1 2 , , , n c c c ，什么是独立常数？ 其含义是 Jacobi 行列式： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 , , , 0 , , , n n n n n n n n c c c D c c c D c c c c c c − − − − 其中： = ( x c c c , , , , 1 2 n )， = ( x c c c , , , , 1 2 n ) ， ， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 , , , , n n n x c c c − − = 。 （2）设 y g x c c c = ( , , , , 1 2 n ) 是充分光滑的函数族，其中 x 是自变量， 1 2 , , , n c c c 是 n 个独立常数，则 存在一个形如 (1.9) 的 n 阶微分方程，使得它的通解恰好是上面给定的函数族 y g x c c c = ( , , , , 1 2 n ) 。 例 1：求双参数函数族 1 2 cos sin ( ) x x y C e x C e x = + 所满足的微分方程。 解：事实上，对上式两边关于 x 求导两次，得到： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 cos sin sin cos 1 2sin 2cos 2 x x x x y C e x x C e x x y C e x C e x = − + + = − + 计算其 Jacobi 行列式：
D[y,y']e"cosx e*sinx e2r≠0 D[C.C:]e*(cosx-sinx)e*(sinx+cosx) 说明(1)(2)中的两个任意常数C,和C是独立的，因此，求解(1)(2)可得： [C=e[y(sinx+cosx)-y'sinx] C:=e[y(sinx-cosx)+y'sinx] 代入()得到一个二阶微分方程， y"-2y'+2y=0 它就是函数族()所满足的微分方程。 练习题：(1)试求在(x,y)平面上过原点的一切圆所满足的微分方程。 略解：平面上过原点的圆族具有方程： (x+a)+(y+b)2=a2+b2 对其关于x连续两次求导，联立方程得到： [(x+a)+(y+b)y'=0 1+y2+(y+b)y=0, x2+2ar+y2+2by=0 消去a和b得到所求微分方程： (x2+y2）y-21+y2）(y-y)=0 为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必需满足的条件，称其为定解条件。常 见的定解条件是训保休，耳，当时少%会冷一是-，求分方程是定都 条件的解就是定解问题，当定解条件为初始条件时，就是初值问题也称为柯西问题。称满足初始条件的解 为微分方程的特解。 5、积分曲线和方向场 前面学习了微分方程及其解的定义，下面将对这些定义针对一阶微分方程给出几何解释，根据这些几 何解释，可以从微分方程本身获取解的某些性质。 考虑一阶微分方程： =fx)010), dx 其中f(x,y)是平面区域D内的连续函数，假设y=(x)(x∈)是方程的解，其中I是解的存在区间， 第5页共8页
第 5 页 共 8 页 ( ) ( ) 2 1 2 , cos sin 0 , cos sin sin cos x x x x x D y y e x e x e D C C e x x e x x = = − + 说明（1）（2）中的两个任意常数 C1 和 C2 是独立的，因此，求解（1）（2）可得： ( ) ( ) 1 2 sin cos sin sin cos sin x x C e y x x y x C e y x x y x − − = + − = − + ， 代入 () 得到一个二阶微分方程， y y y − + = 2 2 0 它就是函数族 () 所满足的微分方程。 练习题：（1）试求在 ( x y, ) 平面上过原点的一切圆所满足的微分方程。 略解：平面上过原点的圆族具有方程： ( ) ( ) 2 2 2 2 x a y b a b + + + = + ， 对其关于 x 连续两次求导，联立方程得到： ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 0 2 2 0 x a y b y y y b y x ax y by + + + = + + + = + + + = ， 消去 a 和 b 得到所求微分方程： ( ) ( )( ) 2 2 2 x y y y xy y + − + − = 2 1 0 为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必需满足的条件，称其为定解条件。常 见的定解条件是初始条件，即，当 0 x x = 时， ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 1 , , , n n n dy d y y y y y dx dx − − − = = = ，求微分方程满足定解 条件的解就是定解问题，当定解条件为初始条件时，就是初值问题也称为柯西问题。称满足初始条件的解 为微分方程的特解。 5、 积分曲线和方向场 前面学习了微分方程及其解的定义，下面将对这些定义针对一阶微分方程给出几何解释，根据这些几 何解释，可以从微分方程本身获取解的某些性质。 考虑一阶微分方程： ( , 1.10 ) ( ) dy f x y dx = ， 其中 f x y ( , ) 是平面区域 D 内的连续函数，假设 y x x I = ( ) ( ) 是方程的解，其中 I 是解的存在区间