区取解的初始时取坊∈R代替具有的意明的初始时取o∈R+,其结果同原来的 解义是等价的（留作习题. 除了全局吸引明和全局叙近稳解明外，稳解明的其它述念都是局部的述念，它 只涉及到所考虑的特解x=x()附近的其它解的特明，这是因为在上足各区解义 中数6>0和)>0都区能是很小的. 对于方程组(3.1)的特解x=x(),理们引人下面的变换 y=x-x'() (3.17) 这区变换续方程组(3.1)化为如下关于y的边的微分方程组 是-=Fe, (1.18) 其中F(t,)=f（t,y+x(t)-ft,x(),由于F(t,0)≡0对最切t∈R+,时边方 程(3.18)有零解y=0,这区零解对应于原方程组(3.1)的特解x=x(④).这样，着 其方程组(3.1)的特解x=x()的稳解明离题就区以转化为着其方程组(3.18)的 零解y=0的稳解明离题，因为叙难证明它们之间的稳解明是彼此等价的（留作习 题.根据这区继实，理们叙连直接假设方程组(3.1)有零解x=0,即要求大域G 包含原点x=0,理且ft,0)=0对最切的t∈R+.这样理们只终着其方程组(3.1) 的零解x=0的稳解明离题就区以了.这样做叙有叙会应去最般明，时且还会带来 许多方便. 对于方程组(31)的零解x=0来说，其稳解，叙稳解，吸引和叙近稳解的各区 解义只终续上足解义3.1,3.2和3.3中的(33)-(3.14各计分别变为如下各计： lrol <5(e,to), (3.3) Ir(t,to,ro)<e 3.4 Tol <6, (3.5) z(t',to,2o)川≥e, 3.6
Ek yX k t ∗ 0 ∈ R+ kZ\oy^3yX k t0 ∈ R+, TD`_}{y `'{+y (U X). ZoW d3loW7M 3k 3yTR:G 'W:y:GR + uPe yVE x = x ∗ (t) 7MyTREyV3' w :FE ` 4= δ > 0 l η > 0 iB'p"y r$QQ (3.1) yVE x = x ∗ (t), -dx0y, y = x − x ∗ (t) (3.17) E,9$QQ (3.1) }w~Yr y y*yr,$QQ dy dt = F(t, y) (1.18) T4 F(t, y) = f(t, y + x ∗ (t)) − f(t, x∗ (t)), nr F(t, 0) ≡ 0 R` t ∈ R+, U*$ Q (3.18) oE y = 0, EEer}$QQ (3.1) yVE x = x ∗ (t). ME T$QQ (3.1) yVE x = x ∗ (t) y 3XUiYB}wET$QQ (3.18) y E y = 0 y 3X w7>#3R-%.y 3'%b{+y (U X). HZE%-7&&* $QQ (3.1) oE x = 0, Ngix G d} x = 0, 2a f(t, 0) ≡ 0 R`y t ∈ R+. M-+5ET$QQ (3.1) yE x = 0 y 3XUiY MT7o7mR3aj{ 6$+ r$QQ (3.1) yE x = 0 {BT 7 dl7M yFE `+59: ` 3.1, 3.2 l 3.3 4y (3.3)-(3.14) F!,0,w~F! |x0| < δ(ǫ, t0), (3.3)′ |x(t, t0, x0)| < ǫ, (3.4)′ |x0| < δ, (3.5)′ |x(t ∗ , t0, x0)| ≥ ǫ, (3.6)′ 27
lzol 6(e). 3.7) I(t,to,ro)<e 3.8y lrol n(to), 3.9y 興化，o,o)=0, 3.10 I(t,to,zo)<e 3.11 lzol <n (3.12) Iz(t,to,ro)<e 3.13 lim (t,to,xo)=0. (3.14 lol<M (3.15 和 Iz(t,to,ro)l<e (3.16) 仔细分析关于零解x=0稳定和一致稳定的定义，我们不难看到，所谓x=0 稳定，就是指义任何的to∈R+,极限 no2化，o,2o)=0 一致地义一切t∈[o,o∞)成绍.而x=0一致稳定，就是指极限 n盟o6o,o)=0 一致地义一切to∈R4和t∈to,∞)成绍. 此外，关于解x=0稳定，一致稳定，不稳定，吸引，一致吸引，全局吸引和全 局一致吸引的几何首述我们有下面的图形. 28
|x0| < δ(ǫ), (3.7)′ |x(t, t0, x0)| < ǫ, (3.8)′ |x0| < η(t0), (3.9)′ lim t→∞ x(t, t0, x0) = 0, (3.10)′ |x(t, t0, x0)| < ǫ, (3.11)′ |x0| < η, (3.12)′ |x(t, t0, x0)| < ǫ, (3.13)′ lim t→∞ x(t, t0, x0) = 0, (3.14)′ |x0| < M (3.15)′ l |x(t, t0, x0)| < ǫ. (3.16)′ H,YrE x = 0 lR. y `-7> uP| x = 0 U'*ymy t0 ∈ R+, lim x0→x∗(t0) x(t, t0, x0) = 0 R.R` t ∈ [t0, ∞) O x = 0 R. U'* lim x0→x∗(t0) x(t, t0, x0) = 0 R.R` t0 ∈ R+ l t ∈ [t0, ∞) O bkYrE x = 0 R. 7 dR. doW dlo WR. dy m1:-o0yf0 28
体上我们比较系统地给出了稳定性概念的数难描述.应当注意的是常微分方程 的解的稳定性的概念就是力难系统续动稳定性的概念的数难化精确描述.在这里， 方程组(3.1)的特解x=x(t)就代表力难系统的不受千扰续动，而方程组(3.1)的 满足初始条件x(to)=xo的解x=x(t,to,o)就代表力难系统的受干扰续动.解 x=x()稳定的定切中的不等式(3.3)和(3.4)则表明了只要受干扰的续动与未受 干扰的续动在初始时刻的初始状态相差的足够小，那么受干扰的续动与不受干扰的 续动随着时间的推移将始终相差很小.而解x=x()吸引的定切中的不等式(3.9) 和极限式(3.10)则表明了只要受干扰的续动与未受干扰的续动在初始时刻的初始 状态相差的足够小，那么受干扰的续动与不受干扰的续动的差值将随着时间的推移 而最终趋微零.下面我们考察几个简单的例子. 例3.1设题给方程组为： i1=-02 (3.19) i2 =, 其中α为某它实常数，则零解x1=x2=0是稳定的，有不是渐近稳定的. 事实上，对任给的它组初始条件9=x1(to),唱=2(to,且to∈R,方程组 (3.19)满足这个初始条件的解为： 1(t)=2 cosa(t-to)-22sina(t-to), x2(t)=sin a(t-to)+x2 cosa(t-to). 因此，对任给的∈>0和to∈R,只要外6=，则当初始值(4，x)满足z+z<6 就全对它切的t≥to全 1(t)川+lx2(t川<e 引而零解1=2=0是稳定的，而且还是它致稳定的.零然，只要(，x)卡(0,0) 就全当t→o∞时(x1(),x2()不趋向微(0,0)，因此零解1=x2=0是不渐近稳 定的 例3.2考虑纯量方程： 主=(6 t sint-2t)x, (3.20) 29
Y-$?bGY 3:Gy=>1: eqA^y'Ir,$Q yEy 3y:GU' >b 3y:Gy=>}Nq1: $QQ (3.1) yVE x = x ∗ (t) Uk/ >by73<u $QQ (3.1) y &OX \4 x(t0) = x0 yE x = x(t, t0, x0) Uk/ >by3<u E x = x ∗ (t) y `4y7{! (3.3) l (3.4) /3+N3<uy vy3 <uy X kyX CTEyOR"<)3<uy v73<uy ME.yhU9 5Ep" E x = x ∗ (t) dy `4y7{! (3.9) l! (3.10) /3+N3<uy vy3<uy X kyX CTEyOR"<)3<uy v73<uy yE)9ME.yhU R5hr 0-eD E0nyI 3 3.1 XG$QQw x˙ 1 = −αx2, x˙ 2 = αx1, (3.19) T4 α w8RI=E x1 = x2 = 0 ' yo7'7M y %yGyRQX \4 x 0 1 = x1(t0), x0 2 = x2(t0), a t0 ∈ R, $QQ (3.19) &OEX \4yEw x1(t) = x 0 1 cos α(t − t0) − x 0 2 sin α(t − t0), x2(t) = x 0 1 sin α(t − t0) + x 0 2 cos α(t − t0). byGy ǫ > 0 l t0 ∈ R, +Nk δ = ǫ 2 , qX ) (x 0 1 , x0 2 ) &O |x 0 1 |+|x 0 2 | < δ UoR`y t ≥ t0 o |x1(t)| + |x2(t)| < ǫ dE x1 = x2 = 0 ' ya'R. y s+N (x 0 1 , x0 2 ) 6= (0, 0) Uoq t → ∞ (x1(t), x2(t)) 7h r (0, 0), bE x1 = x2 = 0 '77M y 3 3.2 e a$Q x˙ = (6tsin t − 2t)x, (3.20) 29
则它的显个x-0是稳定的，但不是一致稳定的. 注意：x=0不是一致稳定的是指，存在一个足够小的常数>0，使得对任念 的常数6>0，总存在某个初始时刻to∈R+和某个满足不等式<6的初始值 xo∈G,以及又存在一个时刻t产>to,使得方程(3.1)的个x=x(t,to,o)在t=t 有 lz(t',to,o川≥e. 事实上，对任念的初始条件x(to)-o,且to,xo∈R,方程(3.20)满足这个初始 条件的个为 x(t,to,zo)=zo exp(6 sint-6t cost -t2-6 sin to +6to costo+). 因此，当t≥to≥0时有 l(t,to,ro)ol exp(t+6to+21) 故显个x=0是稳定的.然而对e=1对任念的常数6>0我们选取t0=2nπ x0=0和#-(2n+1)x,且整数n>0满足0exp(4n+1)π(6-x)≥1.于是 我们有 I(t",to,zo)=I((2n+1),2nm,zo) 25ep(n+16-x》≥1. 故显个x=0不是一致稳定的. 例3.3考响二阶线性方程： +赠+2=0 令！=h和·=，则此方程化为如下等价的方程程 (3.21) =-2h-2 显然，方程(3.21)有显个h=0,2=0.此外方程(3.21)有特个（即未受那扰， yi(t)=e-t sint,(t)=e-t(cost-sint). 30
RyE x = 0 ' yo7'R. y A^ x = 0 7'R. y'*f REOR"yI= ǫ > 0, wyG yI= δ > 0, Lf 8EX k t0 ∈ R+ l8E&O7{! |x0| < δ yX ) x0 ∈ G, Yqf REk t ∗ > t0, w$Q (3.1) yE x = x(t, t0, x0) t = t ∗ o |x(t ∗ , t0, x0)| ≥ ǫ. %yGyX \4 x(t0) = x0, a t0, x0 ∈ R, $Q (3.20) &OEX \4yEw x(t, t0, x0) = x0 exp(6 sin t − 6t cost − t 2 − 6 sin t0 + 6t0 cost0 + t 2 0 ). bq t ≥ t0 ≥ 0 o |x(t, t0, x0)| ≤ |x0| exp(t 2 0 + 6t0 + 21) UE x = 0 ' y s ǫ = 1 yGyI= δ > 0 -<k t0 = 2nπ, x0 = 1 2 δ l t ∗ = (2n + 1)π, a!= n > 0 &O 1 2 δ exp((4n + 1)π(6 − π)) ≥ 1. r' -o |x(t ∗ , t0, x0)| = |x((2n + 1)π, 2nπ, x0)| = 1 2 δ exp((4n + 1)π(6 − π)) ≥ 1. UE x = 0 7'R. y 3 3.3 e B3$Q d 2 y dt2 + 2 dy dt + 2y = 0. y = y1 l dy dt = y2, b$Q}w~{+y$QQ dy1 dt = y2 dy2 dt = −2y1 − 2y2. (3.21) s$Q (3.21) oE y1 = 0, y2 = 0. bk$Q (3.21) oVE (y3<u ): y ∗ 1 (t) = e −t sin t, y∗ 2 (t) = e −t (cost − sin t). 30
不难求关（时移习初方组连足未何初始条件h(to)=ho和2(to)=2o的通个 为在 (t)=e-(-to)(vocos(t-to)+(+)sin(t-to)), y2(t)=e-(-t)(y2o cos(t-to)-(2v0+92)sin(t-to)). 通过直接估计范数1(()，2()川和(1()-()，2()-)川，我们能判定关此 方组的零个(0,0)和特个()，)·是全局一致渐近稳定的续从而所是渐近稳 定的续一致渐近稳定的和全局渐近稳定的（时移习初. 例3.4考虑二阶非特线明方组在 =-2-4十1+4址 (3.22) 方组(3.22)有的受干扰运动为在 i间=2+2+650=-e2-2 不难计算得到方组(3.22)的连足初始条件1(0)=1+h和2(0)=-1+2的受 干扰运动为在 间=-加+5,2+40m+园。++ =n2n+5+h寻-子 5 5 直接估计()-()训+l()一（儿，我们能得到的受干扰运动((）， ()是不稳定的（时移习初）， 例3.5考虑二维方组组 dr (3.23) dt 态殊 -8x, x>0 f()= x≤0 (-x-5,x≤-1. 系此方组的零个x=0,y=0是全局力引的续但不是稳定的， 31
7>gY (U X) $Q&OymX \4 y1(t0) = y10 l y2(t0) = y20 y^E w y1(t) = e −(t−t0) (y10 cos(t − t0) + (y10 + y20) sin(t − t0)), y2(t) = e −(t−t0) (y20 cos(t − t0) − (2y10 + y20) sin(t − t0)). ^a&S!"= |(y1(t), y2(t))| l |(y1(t) − y ∗ 1 (t), y2(t) − y ∗ 2 (t))|, -BL Yb $QyE (0, 0) lVE (y ∗ 1 (t), y∗ 2 (t)) 'oWR.7M ydP'7M yR.7M yloW7M y (U X). 3 3.4 e B*V3$Q dy1 dt = −2y1 − 4y2 + 1 + 4t dy2 dt = −y1 + y2 + 3 2 t 2 . (3.22) $Q (3.22) oy3<u w y ∗ 1 (t) = e 2t + t 2 + t, y∗ 2 (t) = −e 2t − 1 2 t 2 . 7>!Kwu$Q (3.22) y&OX \4 y1(0) = 1 + η1 l y2(0) = −1 + η2 y3 <u w y1(t) = η1 − 4η2 + 5 5 e 2t + 4(η1 + η2) 5 e −3t + t 2 + t, y2(t) = − η1 − 4η2 + 5 5 e 2t + η1 + η2 5 e −3t − 1 2 t 2 . &S! |y1(t) − y ∗ 1 (t)| + |y2(t) − y ∗ 2 (t)|, -Bwuy3<u (y ∗ 1 (t), y ∗ 2 (t)) '7 y (U X). 3 3.5 e x$QQ dx dt = f(x) + y dy dt = −3x, (3.23) T4 f(x) = −8x, x > 0 4x, −1 < x ≤ 0 −x − 5, x ≤ −1. b$QyE x = 0, y = 0 'oW dyo7' y 31