存在群一的解x=p(),定下于区间△=o-h,to+川，且满足(to)=o,写络 h>0前某个确定的常数， 关于这个定理的证明我们有许多种方法，其中之一就是逐步逼近法，这个方法 在常微分方构参构中都有叙述.还有一个方法就是使用Banach压缩映射原理.下 面我们介绍这个方法 证明：选取(o,o)在中的一个初形邻域如下： R(to,xo)={(t,x):lt-tol≤a,lc-xal≤b}, 并且使得f(t,x)在此邻域内满经Lipschitz条件，L为相应的Lipschitz常数，其 中a和b是正常数.我们令常数 M=ma化训：化∈，小，A=mma分》 首先，不难证明，在定理条件下，初值问题(22)的定义于△上的解的函在唯 性等价于如下积分方构 (t)=o+f(s,(s))ds (2.3) 的定义于△上的连续解的函在唯一性（留作习题）. 不基股性以下我们价就△的右半区间△+=o十因来讨论，至于左半 区间的情祝是类介的. 我们用C△]表示所有定义于△+上的n维连续函数(t):△+→”组成的 空间，并且定义它的模为 ll=max{lo(t)le-t:t∈△+} 其中B>L是一个常数.空间C△]有下面的一个渐要性质. 压缩映射系理：设D前空间C[△+]中的一个义空闭不集，而T前D到其自身 的一个映射.设存在常数0<α<1使得对任意的1,2∈D有 IT(p)-T(2)川≤allo1-2. 12
H!rÆP x = φ(t), W E ∆ = [t0 − h, t0 + h], B0: φ(t0) = x0, &# h > 0 ℄7fIWP;a YrE y#3-o66$ T4%RU'<9#M E$ Ir,$Q>Q4 o7: oRE$ U' l Banach BOh } 0-G E$ < <k (t0, x0) Ω 4yREX0x~ R(t0, x0) = {(t, x) : |t − t0| ≤ a, |x − x0| ≤ b}, 2a w f(t, x) bxA&O Lipschitz \4 L wey Lipschitz I=T 4 a l b '"I= -I= M = max{|f(t, x)| : (t, x) ∈ R(t0, x0)}, h = min{a, b M }. 17>#3 \4X)X (2.2) y `r ∆ yEyf u R3{+r~,$Q x(t) = x0 + Z t t0 f(s, x(s))ds (2.3) y `r ∆ y 9Eyf uR3 (U X). 7R3Y-+U ∆ ypi. ∆+ = [t0, t0 + h] {U!-rS i.yet'Gy -l C[∆+] /"Po `r ∆+ y n x 9f= φ(t) : ∆+ → Rn QOy n.2a `Ry6w kφk = max{|φ(t)|e −βt : t ∈ ∆ +}, T4 β > L 'REI= n. C[∆+] o0yRE7N31 X M2 R D ℄ C[∆+] 3PÆf` /7~\ T ℄ D N?8S PÆfQ RH!;a 0 < α < 1 WO[KP φ1, φ2 ∈ D kT(φ1) − T(φ2)k ≤ αkφ1 − φ2k. 12
则必存在唯一的o∈D使得T(o)=n. 这个原理是由波兰数学家Banach建立的，也称作Banach压缩映射原理.它是 泛函分析理论中一个非常重要的结果，在泛函分析教程中都有证明，因此我们这里 就不给出证明了. 选取C△]中的一个闭子集合 D={peC△+1：l()-xol≤b,te△+}. 定义D上的映射T如下 T:(0)=o+「f(s,o(s)ds,p∈D 对于任何o∈D,由于对一切t∈△+有 ITo()-xol=|f(s,o(s)ds≤Mh≤b, 所以To∈D,即T是D到D的一个映射.又对任何的1,2∈D,当t∈△+时 有 ITo(t)-To2(t)I =II[f(s,(s))-f(s,02(s))]ds] ≤Ln(s-a(s)eds ≤台器a用-o啡 于是 70-Ta0啡≤台maa-0. 从而 ITo1-T2l≤lo1-al 由于台<1，所以T也是D到D的一个压缩映射.因此，由上面给出的压缩映射 原理得知，存在唯一的o∈D使得Tp=o,即 )=0+fs,(s)ds,te△+ 3
"0H!rÆP φ0 ∈ D WO T(φ0) = φ0. E}'n4}=>( Banach 8 yPNU Banach BOh } R' #f,!4RE*I7NyD` #f,>Q4 o#3 b- U7GY#3 <k C[∆+] 4yRE'In D = {φ ∈ C[∆+] : |φ(t) − x0| ≤ b, t ∈ ∆ +}. ` D yh T ~ T : ψ(t) = x0 + Z t t0 f(s, φ(s))ds, φ ∈ D rym φ ∈ D, nrR` t ∈ ∆+ o |Tφ(t) − x0| = | Z t t0 f(s, φ(s))ds| ≤ Mh ≤ b, PY Tφ ∈ D, T ' D u D yREh qymy φ1, φ2 ∈ D, q t ∈ ∆+ o |Tφ1(t) − Tφ2(t)| = | Z t t0 [f(s, φ1(s)) − f(s, φ2(s))]ds| ≤ L Z t t0 |φ1(s) − φ2(s)|e −βse βsds ≤ L β max t∈∆+ {|φ1(t) − φ2(t)|e −βt}e βt . r' |Tφ1(t) − Tφ2(t)|e −βt ≤ L β max{|φ1(t) − φ2(t)|e −βt}. d kTφ1 − Tφ2k ≤ L β kφ1 − φ2k. nr L β < 1, PY T P' D u D yREBOh bn0GYyBOh }w$f uRy φ ∈ D w Tφ = φ, φ(t) = x0 + Z t t0 f(s, φ(s))ds, t ∈ ∆ + . 13
于是，x=()是积分方程(2.3)定义于△+上任唯一连续解.定理泛毕 作为存在唯一性定理任推论，我们有下面任结果 推论2.1设DCD是一个有界闭子集，则存在只依赖于集合D的常数h>0 使得对任何(to,0)∈D,初值问题 密=北小w= 都存在唯一的解x=(t,to,xo)定义于区间[to-h,to+h,并且满足(to,to,o)= 0. 注意：定理中任解x=()在区间△上任唯一性是非，如果x=少()也是初 值问题(2.2)任定义于△上任解，并且如果存在一个时刻∈△有(6)=(6)， 则一定有()=()对一切t∈△. 此外，如果函数f(化，x)在卫上连续，并且存在连续任偏导数巴 (亿，j=1,2,·,n),则一定有f(t,x)在2上关于x满足使部任Lipschitz条件（时 作习题. 其次，我们研究方程组(2.1)任解任延拓问题，我们首先给出下面关于延拓解任 定义 定义2.2设x=()和x=()都是方程组(2.1)的解，分别定义于区间1 和12，如果满足 (1)1C2,且1h≠2. (2)在五1上有()=() 则称x=()是x=()的一个延拓解. 如果解x=()存在一个延拓解，则称x=()是可延拓任解.否则，称为不可 延拓任解.不可延拓解也称饱和解.饱和解任最大定义区间一定是一个开区间（时 作习题). 对定义于区间△=，一九，0+月上任解x=()进行延拓任具体方法在常 微分方程教程中都有非常这细任描述，这里不都重述。我们下面只给出解任延拓定 理 14
r' x = φ(t) ',$Q (2.3) `r ∆+ yuR 9E #& Uwf uR3 yh!-o0yD` ^9 2.1 R D ⊂ Ω ℄Æf /7~"H!- ~w D P;a h > 0 WO[Kv (t0, x0) ∈ D, A,wh dx dt = f(t, x), x(t0) = x0 XH!rÆP x = φ(t, t0, x0) W E [t0 − h, t0 + h], 6B0: φ(t0, t0, x0) = x0. A^ 4yE x = φ(t) i. ∆ yuR3'*~` x = ψ(t) P'X )X (2.2) y `r ∆ yE2a~`f REk t1 ∈ ∆ o φ(t1) = ψ(t1), R o φ(t) = ψ(t) R` t ∈ ∆. bk~`f= f(t, x) Ω 92af 9yNt= ∂fi(t,x) ∂xj (i, j = 1, 2, · · · , n), R o f(t, x) Ω Yr x &OW:y Lipschitz \4 ( U X). T -ET$QQ (2.1) yEyFjX-1GY0YrFjEy ` { 2.2 R x = φ(t) u x = ψ(t) X℄^?; (2.1) P a5W E I1 u I2, Lo0: (1) I1 ⊂ I2, B I1 6= I2. (2) ! I1 O φ(t) = ψ(t). "= x = ψ(t) ℄ x = φ(t) PÆf m ~`E x = φ(t) f REFjEN x = φ(t) 'iFjyE .Nw7i FjyE 7iFjEPN lE lEyRi `i.R 'REbi. ( U X). `ri. ∆ = [t0 − h, t0 + h] yE x = φ(t) K1Fjy\Y$ I r,$Q>Q4 o*Iy1:7 7: -0+GYEyFj 14
解的延拓定理：方程组(2.1)的通过任何初始点(to,o)∈2的解x=()都 可以延拓成为一个饱和解.以向t增大的方向延拓来说，如果解x=()只能延拓 到区间o,m),则我们有 lim p(M(t),)1+M(t)}=oo 其中M(t)=(化，()，|M(t)川表示M()在Rm+1中的模，O2表示区域的边界， 而p(M(),)1表示点M()到集合的距离的倒数.特别地，若2=R",则 我们规定p(M(),2)-1=0, 证明：如果m=+o,则我们显然有M(一+∞当t一+oo.从而必有 (p(M()+M(. 因此，在下面的证明中我们始终假设m<∞.采用反证法，假设定理的结论也不成 立.于是存在时间序列{化n},且limn一otn=m,使得 |(tn≤Mo, (2.4) 并且 p(tn,(tn),2)）≥o, (2.5) 这里M6和o是正常数.由(0.4)得知，{(n)}有一个收敛的子序列.因此，不 妨假设imn一e(tn)=x.又由(0.5)得知(m,x)∈2.下面证明一定有 lin () (2.6) 为此，对任给的c>0,且c充分小，使得闭区域 ={6,x):t-ml≤6，lr-1≤c}C. 令M=max{f(t,x川：(t,x)∈.选取一个tn使得满足 ld)-r1<m-)<杀 (2.7)
#u_{2 ^?; (2.1) PjpKvAXV (t0, x0) ∈ Ω P x = φ(t) X m>sÆf,u t #IP^ m bLo x = φ(t) -: m NE [t0, m), "x3 lim t→m− {ρ(M(t), ∂Ω)−1 + |M(t)|} = ∞, ?3 M(t) = (t, φ(t)), |M(t)| 4Z M(t) ! Rn+1 3P6∂Ω 4ZE Ω P1 \ ρ(M(t), ∂Ω)−1 4ZV M(t) N~w ∂Ω P PLa g5SM Ω = Rn , " x3nW ρ(M(t), ∂Ω)−1 = 0. < ~` m = +∞, -so |M(t)| → +∞ q t → +∞. d(o lim t→m− {ρ(M(t), ∂Ω)−1 + |M(t)|} = +∞. b 0y#34- 5* m < ∞. =l!# * yD!P7O r'f .8 {tn}, a limn→∞ tn = m, w |φ(tn)| ≤ M0, (2.4) 2a ρ((tn, φ(tn)), ∂Ω) ≥ ǫ0, (2.5) M0 l ǫ0 '"I= n (0.4) w$ {φ(tn)} oRE/ yI8 b7 &* limn→∞ φ(tn) = x ∗ . qn (0.5) w$ (m, x∗ ) ∈ Ω. 0#3R o lim t→m− φ(t) = x ∗ . (2.6) wbyGy ǫ > 0, a ǫ T," w'ix R = {(t, x) : |t − m| ≤ ǫ, |x − x ∗ | ≤ ǫ} ⊂ Ω. M = max{|f(t, x)| : (t, x) ∈ R}. <kRE tn w&O |φ(tn) − x ∗ | < 1 2 ǫ, M(m − tn) < 1 2 ǫ. (2.7) 15
现逼明当tn≤t<m线一定有 lo(t)-x1≤e. (2.8) 事实上，稳存一个t∈(tn,m)有l()-x|>6,则由解x=()的连续中，存 :n∈(tn,m)使得l()-x|=e和()-x1<e对一切tn≤t<n.这样，一 方满由(2.7)的类一个式常得到 1p)-o6nl≥lo)-x1-lo(）-r1> 有另一方满，由(2.7)的类二个式常得到 )-o()=If(s.o(s)dsl m(t) 于是矛盾.因此(2.8)式成解.从留遁明了(2.6)成解 由于(m,x)∈，由解的存：唯一中定理得方，方程构(2.1)必存：一个解 x=(),定义于某个区间mm+3),数B>0.现定义一个函数 了(t),t∈[to,m) 0={0。temm+到 显然，：区间[to,m)和(m,m+)上x=()是方程构(2.1)的解由于x=(t) 是方程构(2.1)的定义：[m,m+)上的解，因此 e(n,(m) 于是，x=():t=m处的右导数为 n) 由于：区间o,m)上有 (t)=ro+f(s,o(s))ds, 因此根据(2.6)我们叙难得到 m=o+f, 6
#3q tn ≤ t < m R o |φ(t) − x ∗ | ≤ ǫ. (2.8) %f RE t ∈ (tn, m) o |φ(t) − x ∗ | > ǫ, nE x = φ(t) y 93f η ∈ (tn, m) w |φ(η) − x ∗ | = ǫ l |φ(η) − x ∗ | < ǫ R` tn ≤ t < η. MR $0n (2.7) yRE!Iwu |φ(η) − φ(tn)| ≥ |φ(η) − x ∗ | − |φ(tn) − x ∗ | > 1 2 ǫ. oR$0n (2.7) yE!Iwu |φ(η) − φ(tn)| = | Z η tn f(s, φ(s))ds| ≤ m(η − tn) < 1 2 ǫ. r'( b (2.8) !O d#3 (2.6) O nr (m, x∗ ) ∈ Ω, nEyf uR3 w$$QQ (2.1) (f REE x = ψ(t), `r8Ei. [m, m + β), a β > 0. `REf= φ(t) = φ(t), t ∈ [t0, m) ψ(t), t ∈ [m, m + β) s i. [t0, m) l (m, m+β) x = φ(t) '$QQ (2.1) yE nr x = ψ(t) '$QQ (2.1) y ` [m, m + β) yE b dψ(t) dt |t=m = f(m, ψ(m)). r' x = φ(t) t = m ℄ypt=w dφ(t) dt |t=m+ = f(m, φ(m)). nr i. [t0, m) o φ(t) = x0 + Z t t0 f(s, φ(s))ds, bHZ (2.6) -7>wu φ(m) = x0 + Z m t0 f(s, φ(s))ds. 16