§1.常微上方程基传概念 1.1常微分方全到等义 设R=(-o心，o∞)，型示n维欧氏空致，对任何向量x∈，x的模记为. 设DCR×"是一个可域，设∫：？一R是一个已比的标量函数.设x=x()是 一个以t∈R为诺变量的未比函数，则如下关系式 dnr dx d-1x =f化，x.,) (1.1) 称为一个n转常微分方程，制称n转方程. 进一步，设∫：→R”是一个已比的n维向量函数.设x=x()是一个以 t∈R为诺变量的n维向量未比函数，则如下关系式 密-f北到 (1.2) 称为一个n维一转常微分方程程，制称一转方程程， 如果我们及： =小=-会尝会 和 ft,x)=(i(t,x),f2(t,x,.,fn(化，x), 则一转方程程(1.2)可以写成如下联立方程程的形式： =6,1,2,n】 t =fh,n,2,n】 dt 告-动 此外，n转方程(1.1)也可以通过引如新的变量能化成一转方程程的形式.具体方
§1. i n^A 1.1 jdou{ R = (−∞, ∞), Rn /" n xK*n.ym x ∈ Rn , x y6"w |x|. Ω ⊂ R × Rn 'REix f : Ω → R 'REX$y.f= x = x(t) ' REY t ∈ R wJ,yy$f=~Y! d nx dtn = f(t, x, dx dt , · · · , d n−1x dtn−1 ) (1.1) NwRE n BIr,$Q0N n B$Q KR9 f : Ω → Rn 'REX$y n x f= x = x(t) 'REY t ∈ R wJ,y n x y$f=~Y! dx dt = f(t, x) (1.2) NwRE n xRBIr,$QQ0NRB$QQ ~`- x = (x1, x2. · · · , xn), dx dt = (dx1 dt , dx2 dt , · · · , dxn dt ) l f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), · · · , fn(t, x)), RB$QQ (1.2) iY&O~ $QQy0! dx1 dt = f1(t, x1, x2, · · · , xn) dx2 dt = f2(t, x1, x2, · · · , xn) · · · · · · dxn dt = fn(t, x1, x2, · · · , xn) bk n B$Q (1.1) PiY^ad~*y,B}ORB$QQy0! \Y$ 7
史如下：读1=x,2=告，xn=告，则我们有 dn以=n 答-=化 这是一个n维未一转方程程。 由于任何一个n转方程都可出通过上概方史能化为一个n维未一转方程程，因 统从下形第二状开始我们只对一转方程程进行讨论 1.2解到等义 读x=x()是绍义于区致ICR上未有直到n导数未标量函数，如果我们有 0=心29对-文te1 则称x(①是n转方程(11)绍义：区致I上未一个解. 读x-x()是绍义于区致ICR上未有一转导数未n维向量函数，如果我们有 0=f化，)对-义te1 dt 则称x(①)是一转方程程(1.2)绍义：区致1上未一个解. 显然，一个常微分方程可出有许多个解为了确绍常微分方程未某个提绍未解 作需称确绍这个解未绍解条中.绍解条中通常有题始条中和氏界条中.这里我们主 称体心题始条中.对于n转方程程(1.1)，题始条中通常绍义为如下形式： x)=0,ao=1,.,=n-, (1.3) dt dtn-1 其中o∈R称为题始而刻，x0,x1,.,n-1称为题始值，它们都是初此未值.对 于一转方程程(1.1)，题始条中通常绍义为如下形式： x(to）=x0 (1.4) 8
~ x1 = x, x2 = dx dt , · · ·, xn = d n−1x dtn−1 , -o dx1 dt = x2 dx2 dt = x3 · · · · · · dxn−1 dt = xn dxn dt = f(t, x1, x2, · · · , xn) 'RE n xyRB$QQ nrymRE n B$Q iY^a:$ B}wRE n xyRB$QQ bd0Cb -+RB$QQK1U! 1.2 #u{ x = x(t) ' `ri. I ⊂ R yo&u n t=y.f=~`-o d nx(t) dtn ≡ f(t, x(t), dx(t) dt , · · · , d n−1x(t) dtn−1 ) R` t ∈ I, N x(t) ' n B$Q (1.1) ` i. I yREE x = x(t) ' `ri. I ⊂ R yoRBt=y n x f=~`-o dx(t) dt ≡ f(t, x(t)) R` t ∈ I, N x(t) 'RB$QQ (1.2) ` i. I yREE sREIr,$QiYo6EE wq Ir,$Qy8EW yE U4Nq EEy E\4 E\4^IoX \4l*F\4 -= NY+X \4 r n B$QQ (1.1), X \4^I `w~0! x(t0) = x0, dx(t0) dt = x1, · · · , d n−1x(t0) dtn−1 = xn−1, (1.3) T4 t0 ∈ R NwX k x0, x1, · · ·, xn−1 NwX )R- 'X$y) rRB$QQ (1.1), X \4^I `w~0! x(t0) = x0, (1.4) 8
其中to∈R称为初始时代概x∈R”称为初始值并且它们都是已比的值都 确定n阶方程程(1.1)的满足初始条需(1.3)的差的源题称为n阶方程程(1.1) 的初值源题概通常本为 d"r dn-iz. dr(to) xto=o, d-lx(to） =n-1 确定最阶方程程(1.2)的满足初始条需(1.4)的差的源题称为最阶方程程(1.2)的初 值源题概通常本为 华=f化， x(to)=To. 1.3困空间轨线概秤积点 对于最阶方程程(1.2)，我们称分量x所：的由标”为它的者由标都 设x=x(t,to,xo)是最阶方程程(1.2)的满足初始条需(1.4)的差概定义区标为 L,展然to∈L.则者由标中的集合 J={x:x=x(t),i∈I},J+={x:x=x(t),t∈I,t≥to}, J_=x:=x(t).tel.t<tot 分别称为差x(t,to,o)所对应的通线概正半通线和负半通线都 对于最阶方程程(1.2)，如果函：最个常数向量x=x*使为f(化，x*三0对最义 t∈R,则我们称x=x*是它的最个业微点都 展然概最阶方程程(1.2)的业微点x=x°也是它的最个差概骈且是常数差都 1,4自治方全概解方全概线如方全 ：常微分方程理论中概我们通常把方程程(1.2)称为非诺明的微分方程程都诺方 程程(1.2)的右端函数f(t,x)不展含时标t,即方程程(1.2)分为 =fe) (1.5) 9
T4 t0 ∈ R NwX k x) ∈ Rn NwX )2aR- 'X$y) q n B$QQ (1.1) y&OX \4 (1.3) yEyXNw n B$QQ (1.1) yX)X^I"w d nx dtn = f(t, x, dx dt , · · · , d n−1x dtn−1 ) x(t0) = x0, dx(t0) dt = x1, · · · , d n−1x(t0) dtn−1 = xn−1. q RB$QQ (1.2) y&OX \4 (1.4) yEyXNwRB$QQ (1.2) yX )X^I"w dx dt = f(t, x) x(t0) = x0. 1.3 v+ ÆuDw rRB$QQ (1.2), -N, x P yn. Rn wRyn. x = x(t, t0, x0) 'RB$QQ (1.2) y&OX \4 (1.4) yE `i.w I, s t0 ∈ I. n. Rn 4yn J = {x : x = x(t), i ∈ I}, J+ = {x : x = x(t), t ∈ I, t ≥ t0}, l J− = {x : x = x(t), t ∈ I, t ≤ t0} ,0NwE x(t, t0, x0) Pey^"^l5^ rRB$QQ (1.2), ~`f REI= x = x ∗ w f(t, x∗ ) ≡ 0 R` t ∈ R, -N x = x ∗ 'RyREQr sRB$QQ (1.2) yQr x = x ∗ P'RyREE2a'I=E 1.4 # o Eou~o Ir,$Q!4-^I$QQ (1.2) Nw*J3yr,$QQ $ QQ (1.2) ypf= f(t, x) 7d. t, $QQ (1.2) ,w dx dt = f(x) (1.5) 9
这里n维向量函数f(x)在区域GCR"上连续，且满足局部的Lipschitz条件，此 时我们称为自治的微分方程.若方程组(1.2)的右端函数f化，x)关于t是周期的， 即存在常数w>0使得对任何的（化，x)∈R×G都有 f(t+w,x)=f(t,x) 则我们称方程组(1.2)是周期的微分方程组.显然自治的和周期的微分方程组都是 非自治微分方程组的特殊情况.若方程组(1.2)的右端函数f(化，x)关于x是线性 的，即 f(t,x)=A()x+f() 其中，A()是n×n阶函数矩阵，f(t)是n维向量函数，则称方程(1.2)是线性 非齐次方程组，即 告=A0z+1m (1.6) 若有ft)≡0，即 告=0g (1.7) 则称为线性齐次方程组，若还有A()三A为一个常数矩阵即 告=： (1.8) 则称为常系数线性齐次方程组 10
n x f= f(x) ix G ⊂ Rn 9a&OW:y Lipschitz \4b -NwJ3yr,$Q $QQ (1.2) ypf= f(t, x) Yr t '8Sy f I= ω > 0 wymy (t, x) ∈ R × G o f(t + ω, x) = f(t, x) -N$QQ (1.2) '8Syr,$QQ sJ3yl8Syr,$QQ ' *J3r,$QQyV4et $QQ (1.2) ypf= f(t, x) Yr x '3 y f(t, x) = A(t)x + f(t) T4 A(t) ' n × n Bf=X f(t) ' n x f=N$Q (1.2) '3 *V $QQ dx dt = A(t)x + f(t), (1.6) o f(t) ≡ 0, dx dt = A(t)x, (1.7) Nw3V $QQo A(t) ≡ A wREI=X dx dt = Ax, (1.8) NwI=3V $QQ 10
§2.基本定理 著摄将介绍常微分方程解的些基著定理，原的存在唯性定理，解的延拓 定理，解对初值的连续性定理，以及解对参数的连续性定理.它们是著课程所涉及 内容的理论基础。 我们考虑如下一般形式的n维常微分方程组 告=化 (2.1) 其中x=(c1,x2,.,xn)∈，t∈R,ft,x)是定义于区域0C+1上的n维向 系函数及，到=，.h,.,)∈m 定义2.1(1)称f(t,x)在2上关于x满足Lipschitz条件，如果存在常数L>0 使得对任意的（化，1），（化，x2)∈2都有 If(t,x1)-f(t,22)<Llz-z2l. (2)称f(t,x)在2上关于x满足局部的Lipschitz条件，如果对任意的(to,xo)∈ 2,存在(to,xo)的一个邻城U=U(to,o)C2和一个常数L=L(to,xo)>0,使得 对任意的（化，1），(6，x2)∈U都有 lf(t,x)-f(t,2l≤-x2 这里，常数L通常称为Lipschitz常数 在著聂中我们始终假设方程组(2.1)的右端函数f(t,x)在Ω上连续，并且关于 x满足局部的Lipschitz条件. 首先我们研究方程组(2.1)的初值问题的解的存在唯一性问题，我们有下面的结 果 解的存在唯-性定理用任有动∈B.打值问夏 亚=f化，以，xo)=0 (2.2) 11
§2. ^z1 "C9G Ir,$QEyR$" Eyf uR3 EyFj EX)y 93 YE>=y 93 R-'"lQP A}y![ -e ~R0!y n xIr,$QQ dx dt = f(t, x), (2.1) T4 x = (x1, x2, · · · , xn) ∈ Rn , t ∈ R, f(t, x) ' `rix Ω ⊂ Rn+1 y n x f= f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), · · · , fn(t, x)) ∈ Rn . { 2.1 (1) = f(t, x) ! Ω Ol x 0: Lipschitz iLoH!;a L > 0 WO[KP (t, x1), (t, x2) ∈ Ω X |f(t, x1) − f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2|. (2) = f(t, x) ! Ω Ol x 0:9P Lipschitz iLo[KP (t0, x0) ∈ Ω, H! (t0, x0) PÆf+ U = U(t0, x0) ⊂ Ω uÆf;a L = L(t0, x0) > 0, WO [KP (t, x1), (t, x2) ∈ U X |f(t, x1) − f(t, x2)| ≤ L|x1 − x2|. &#;a L j;=s Lipschitz ;a "C4- 5* $QQ (2.1) ypf= f(t, x) Ω 92aYr x &OW:y Lipschitz \4 1-ET$QQ (2.1) yX)XyEyf uR3X-o0yD ` #ure~{2 [Kv (t0, x0) ∈ Ω, A,wh dx dt = f(t, x), x(t0) = x0 (2.2) 11