初等数论中的平行结果定理13（带余除法).设m,n是两个整数，m≠0.则存在唯一的一对整数9,r满足1) n=mg+r;2)0<r<|ml这个数r称为n被m除的余数。证明：令T=(mala EZ,ma≤n).显然T≠の.由于整数集合以n作为一个上界，故中有一个最大数，记作mg.令r=n一mq.则n=mq+r,并且0≤r.余下只要证明r<|ml即可。假定r≥|ml.如果m>0,则m(g+1)=mq+m=n-r+m≤n,故m(q+1)EI,与mq的选取矛盾。如果 m<0,则m(q-1)=mq-m=n-r-m≤n,故m(q-1)EI,同样与 mq的选取矛盾。唯一性的证明留作练习。口
Ð êØ¥²1(J ½n13 ( {Ø{). m, n ´üê§m 6= 0. K3éê q, r ÷v 1) n = mq + r; 2) 0 ≤ r < |m|. ùê r ¡ n m Ø{ê" y²µ- Γ = {ma|a ∈ Z, ma ≤ n}. w, Γ 6= ∅. duê8Ü Γ ± n þ.§Γ ¥ kê§P mq. - r = n − mq. K n = mq + r, ¿ 0 ≤ r. {ey² r < |m| ="b½ r ≥ |m|. X J m > 0, Km(q + 1) = mq +m = n−r +m ≤ n, m(q + 1) ∈ Γ, mq Àgñ"XJ m < 0, K m(q − 1) = mq − m = n − r − m ≤ n, m(q − 1) ∈ Γ, Ó mq Àgñ" 5y²3öS" ✷
定义6.设m,n是不全为零的两个整数。若正整数d是m,n的公因子，并且m,n的任何一个公因子都整除d.则称d为m,n的最大公因子，记作 gcd(m, n).定理14.设m，n是不全为零的两个整数，则它们的最大公因子存在且唯一，并且存在整数使gcd(m,n)=mu+nu定理15（孙子定理).设g1，···，9r是一组两两互素的自然数。对于任给的非负整数al..,ar，假如ai<gi对1≤i<r都成立，则存在一个整数n使得对每个i，整数n被9i除的余数恰好是ai
½Â6. m, n ´Ø "üê"e ê d ´ m, n úÏf§¿ m, n ?Ûú ÏfÑØ d, K¡ d m, n úÏf§P gcd(m, n). ½n14. m, n ´Ø "üê§K§ úÏf3 , ¿ 3ê u, v ¦ gcd(m, n) = mu + nv. ½n15 ( f½n). g1, . . . , gr ´|üüp g,ê"éu?Kêa1, . . . , ar, b X ai < gi é 1 ≤ i ≤ r Ѥá§K3 ê n ¦éz i, ê n gi Ø{êTÐ ´ai .
《孙子算经）“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
3f²4 /8kÔØÙê§nnê§ÊÊê n§ÔÔꧯÔAÛº0
作业：p.194:4,5,6,7
µ p.194:4,5,6,7
多项式的因式分解定义7.设K是一个数域，p(α)EK[el 满足以下条件：(1) deg(p) > 0;(2) p(α)不能分解成两个次数小于 deg(p)的多项式的乘积。则p(c)称为K[al中的一个不可约多项式。满足条件(1)但不满足条件(2)的多项式称为可约多项式。[注]不可约性与数域K有很大关系。例8.）2+1是R[cl中的不可约多项式，但不是Cal中的不可约多项式，因为在C[cl中2+1 = (-)(α+)2)2一2是Q[αl中的不可约多项式，但不是R[a]中的不可约多项式，因为在R[c]中2-2= (r-V2)(r+V2)3）任何一个一次多项式是不可约多项式。4)注意2c+4是不可约多项式
õªÏª©) ½Â7. K ´ê§p(x) ∈ K[x] ÷v±e ^µ (1) deg(p) > 0; (2) p(x) ØU©)¤ügêu deg(p) õ ª¦È" K p(x) ¡ K[x] ¥Øõª"÷ v^(1)Ø÷v^(2)õª¡õ ª" [5] Ø5ê K ké'X" ~8. ) x 2 + 1 ´ R[x] ¥Øõª§Ø ´ C[x] ¥Øõª§Ï3C[x] ¥x 2 + 1 = (x − i)(x + i). 2) x 2 − 2 ´ Q[x] ¥Øõª§Ø ´ R[x] ¥Øõª§Ï3R[x] ¥x 2 − 2 = (x − √ 2)(x + √ 2). 3) ?Ûgõª´Øõª" 4) 5¿ 2x + 4 ´Øõª"