(H)若求得(4)的通解形式为 Φ(x,p,C)=0 则得(2)的参数形式的通解为 Φ(x,p,c)=0 y=f(x, p) 其中是参数,c是任意常数
(III) 若求得(4)的通解形式为 (x, p,c) = 0 则得(2)的参数形式的通解为 (x, p,c) = 0 y = f (x, p) 其中p是参数,c是任意常数
咐注1在参数形式通解中的参数p通常用t来替代 方面这是习惯所至另方面这也表明在通解中的 p只起参数作用而不再表示2=y了 x 附注2:在求得通解后,比如=0(x,c),不应把能解 中的看成中,即 3d=(x,c),并进而两边关于x积 分得到y=∫o(xcx+c我们可这样去理解因为 y=f(x,y)是一阶微分方程,通解中只有一个任意 常数而y=∫列(x,c+c中有两个相互独立的任常 数c与c1,这显然是不对的
附注1: , . , , , , 只起参数作用 而不再表示 ' 了 一方面这是习惯所至 另方面 这也表明在通解中的 在参数形式通解中的参数 通常用 来替代 y dx dy p p t = 附注2: , . , ( , ) ( , ) , , ( , ) . , , ( , ), , ( , ), 1 1 ' 1 数 与 这显然是不对的 常数 而 中有两个相互独立的任常 是一阶微分方程 通解中只有一个任意 分 得到 我们可这样去理解 因为 中的 看成 即 并进而两边关于 积 在求得通解后 比如 不应把能解 c c y x c dx c y f x y y x c dx c x c x dx dy dx dy p p x c = + = = + = =
X 例1求解方程y=( x→ dx dx 2 解 axP,则原方程变为 X y=(P)2-xp+ (6) 两边对x求导得 = dx X p+x dx 整理化简后得方程 1)(2p-x)=0,(7)
解: 令 p,则原方程变为 dx dy = , (6) 2 ( ) 2 2 x y = p − x p+ 两边对x求导得2 p x, dx dp x dx dp p = p − − + 整理化简后得方程 ( −1)(2 p − x) = 0, (7) dx dp 例1 求解方程 . 2 ( ) 2 2 x dx dy x dx dy y = − +
=(P)2-xp2°(6 1)(2p-x)=0,(7) 从 1=0 dx 解得(7)的通解为:P=x+C 将它代入(6得原方程的通解: X y=c +cI+ c为任常数,(8) 又从2n-x=0 XX 解得(7)的一个解为 P
解得(7)的通解为: p = x+c. 将它代入(6)得原方程的通解: , , (8) 2 2 2 c为任常数 x y = c + cx + , (6) 2 ( ) 2 2 x y = p − x p+ ( −1)(2 p − x) = 0, (7) dx dp 又从 2 p − x = 0 解得(7)的一个解为: , 2 x p = −1 = 0 dx dp 从
将它代入(6得原方程的一个解 故原方程的解为: 通解:y=c2+cx+ c为任常数,(8) 及一个解:y 4 这里通解(8)不包含y=,且在积分曲线y=上的每一点 处都有积分曲线族(8)中的某一条积分曲线在该点与之相切 在几何中称曲线y 为曲线(8)的包络 在微分方程中称解y=为原方程的奇解。 4
将它代入(6)得原方程的一个解: . 4 2 x y = 故原方程的解为: 通解: , , (8) 2 2 2 c为任常数 x y = c + cx + 及一个解: . 4 2 x y = , (8) . 4 , 4 (8) 2 2 处 都有积分曲线族 中的某一条积分曲线在该点与之相切 这里通解 不包含 且在积分曲线 上的每一点 x y x y = = 在几何中称曲线 为曲线(8)的包络 4 2 x y = 。 x 在微分方程中称解y 为原方程的奇解 4 2 =