例5.4.4求f(x)=2在x=0处的 Taylor公式。 解将2写成em2,令u=(n2)x并对e使用例541的 Taylor公 式,代回变量即有 In 2 2=1+(h2)x+ 2)2x2(h2)3x3 (2) +o(x")。 2! 3 !
例 5.4.4 求 f x x ( ) = 2 在 x = 0 处的 Taylor 公式。 解 将2 x写成 e (ln 2)x ，令 u = (ln 2)x 并对 e u使用例 5.4.1 的 Taylor 公 式，代回变量即有 ( ) ! (ln 2) 3! (ln 2) 2! (ln 2) 2 1 (ln 2) 2 2 3 3 n n n x o x n x x x = + x + + + + +
例5.4.5求f(x)=v2-cosx在x=0处的 Taylor公式(展开至4 次) 解令u=1-c0sx,则当x→0时u→0,于是 V2-COSx=V1+(1-cos x)=V1+u=1+ +olu 1-coSx (1-cos x) 由于 1-coSx= +O(x), 224 代入上式,得到展开式 2-cOSx=1+ +O(x) 624
例 5.4.5 求 f (x) = 2 − cos x 3 在 x = 0处的 Taylor 公式（展开至 4 次）。 解 令u = 1− cos x，则当x →0时u → 0，于是 2 3 3 2 3 2 2 2 cos 1 (1 cos ) 1 1 ( ) 3 9 1 cos (1 cos ) 1 ((1 cos ) ). 3 9 u u x x u o u x x o x − = + − = + = + − + − − = + − + − 由于 ( ) 2 24 1 cos 4 2 4 o x x x − x = − + ， 代入上式，得到展开式 ( ) 6 24 2 cos 1 4 2 4 3 o x x x − x = + − +
例5.4.5求f(x)=v2-cosx在x=0处的 Taylor公式(展开至4 次) 解令u=1-c0sx,则当x→0时u→0,于是 V2-COSx=V1+(1-cos x)=V1+u=1+ +olu 1-coSx (1-cos x) 由于 1-coSx= +O(x), 224 代入上式,得到展开式 2-cOSx=1+ +O(x) 624 请读者思考一下,为什么不能将2-cosx化为v2 COSx 2 再对-=03x使用例543的结论
请读者思考一下，为什么不能将 2 3 − cos x 化为 2 3 1 2 3 − cos x ， 再对 1 2 3 − cos x 使用例 5.4.3 的结论。 例 5.4.5 求 f (x) = 2 − cos x 3 在 x = 0处的 Taylor 公式（展开至 4 次）。 解 令u = 1− cos x，则当x →0时u → 0，于是 2 3 3 2 3 2 2 2 cos 1 (1 cos ) 1 1 ( ) 3 9 1 cos (1 cos ) 1 ((1 cos ) ). 3 9 u u x x u o u x x o x − = + − = + = + − + − − = + − + − 由于 ( ) 2 24 1 cos 4 2 4 o x x x − x = − + ， 代入上式，得到展开式 ( ) 6 24 2 cos 1 4 2 4 3 o x x x − x = + − +