记 a(a-1)…(a-k+1) k k 并规定 0 当a为正整数n时,=C,1≤/≤n,因而它是组合数的推广 由此得到 x+ 0 +r (x) 它的余项为 rn(x)=o(x"),或 (x)=/a (1+ax) (n+1)n+1 ∈(0,1)。 n+
记 , ! ( 1) ( 1) k k k − − + = 并规定 1 0 = 。 当 为正整数n时， n j n j = C ，1 j n，因而它是组合数的推广。 由此得到 n x n x x x x + + + + + + = 2 3 0 1 2 3 (1 ) + r x n ( )， 它的余项为 ( ) ( ) n n r x = o x ，或 (1 ) , (0,1) 1 ( ) ( 1) 1 + + = − + + n n n x x n r x
下面是几种最常见的情况。 (a)当a为正整数n时,上式即成为 (1+x)y2=∑xk=∑C 这是熟知的二项式展开定理,此时的余项为零
下面是几种最常见的情况。 (a)当 为正整数n时，上式即成为 (1 ) C 0 0 + = = = = x n k x x n k n k n k k k n ， 这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零
下面是几种最常见的情况。 (a)当a为正整数n时,上式即成为 (1+x)y2=∑xk=∑C 这是熟知的二项式展开定理,此时的余项为零。 (b)当a=-1时,易知 k/=(-1,因此 1-x+x2-x3+x (-1)"x"+r(x), 1+x 余项为 h(x)=o(x"),或(x)=(-1y, b∈(0,1)。 (1+Ox)”+2
(b)当 = −1 时，易知− = − 1 1 k k ( ) , 因此 n n x x x x x x 1 ( 1) 1 1 2 3 4 = − + − + − + − + + r x n ( )， 余项为 ( ) ( ) n n r x = o x ，或 1 1 2 ( ) ( 1) , (0,1) (1 ) n n n n x r x x + + + = − + 。 下面是几种最常见的情况。 (a)当 为正整数n时，上式即成为 (1 ) C 0 0 + = = = = x n k x x n k n k n k k k n ， 这是熟知的二项式展开定理，此时的余项为零
(c)当a=时,对k≥1,有 _(-1)…(号-k+1 k! (1-2)1-4)…(1-2(k-1)2 k=1, (-1) k-1(2k-3) k>1, (2k) 其中记号础为 !/(k-2)k-4)…64·2,k=2n, k(k-2)k-4)…5·3·1,k=2n+1 因此 1+x=1+-x +(-1) 2n-3) x"+r,(x), 2.4.6 (2m)! 余项为 rn(x)=o(x"),或r(x)=(-1) (2n-1)! ∈(0,1) (2n+2)4+0x)
(c) 当 2 1 = 时，对k 1，有 ! ( 1) ( 1) 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k − − + = 2 ! (1 2)(1 4) (1 2( 1)) k k k − − − − = − − = = − , 1, (2 )!! (2 3)!! ( 1) , 1, 2 1 1 k k k k k 其中记号k!!为 − − = + − − = = ( 2)( 4) 5 3 1, 2 1. ( 2)( 4) 6 4 2, 2 , !! k k k k n k k k k n k 因此， n n x n n x x x x (2 )!! (2 3)!! ( 1) 2 4 6 1 3 2 4 1 2 1 1 1 2 3 1 − − + − + + = + − − + r x n ( )， 余项为 ( ) ( ) n n r x = o x ，或 1 2 1 (2 1)!! ( ) ( 1) , (0,1) (2 2)!! (1 ) n n n n n x r x n x + + − = − + +
(d)当a=-时,对k≥1,有 2_(-(--1)…(-2-k+1) k k (-1)(-1-2)(-1-4)…(-1-2(k-1) 2KI (2k-1) 因此 tr( x (2m)! 余项为 (x)=o(x"),或r(x)=(-(2n+1)x ∈(01)。 (2n+2)! (1+x)
(d)当 2 1 = − 时，对k 1，有 , (2 )!! (2 1)!! ( 1) 2 ! ( 1)( 1 2)( 1 4) ( 1 2( 1)) ! ( )( 1) ( 1) 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k k k k k − = − − − − − − − − − = − − − − − + = − 因此 n n x n n x x x x (2 )!! (2 1)!! ( 1) 2 4 6 1 3 5 2 4 1 3 2 1 1 1 1 2 3 − − + − − = − + + + r x n ( )， 余项为 ( ) ( ) n n r x = o x ，或 , (0,1) (1 ) (2 2)!! (2 1)!! ( ) ( 1) 2 3 1 1 + + + = − + + + n n n n x x n n r x