2.对于迭代法xk+1=9(xk),由微分中值定理 (xk)-q(x2)=q()(xk-x*) k+1-xk=p(x)-(x-1)=(5)( 由于|(x)|L k+1 ≤Lx k k+1 x≤L k+1 X k+1 ≤Lx k+1 x*+L k+1 k+1 k+1
2 . ( ), k 1 k o x = j x 对于迭代法 + * 1 x x k + - (x ) (x*) = j k - j ( )( x x*) = j¢ x k - 由微分中值定理 k k x - x + 1 ( ) ( ) = k - k -1 j x j x ( )( ) - -1 = ¢ k k j x x x * 1 x x k + - L x x * £ k - k k x - x +1 £ k - k -1 L x x * ( ) k 1 k 1 k = L x - x - x - x + + * ( ) k 1 k 1 k £ L x - x + L x - x + + k k k x x L L x x - - + 1 - £ + 1 1 * 由于 |j ¢( x )|£ L
x4-x≤ 1-L k-1 1-L k-2 Lk 由于L<1,lim(xk-x2)=0 因此对任意初值x,迭代法xk+1=9(xk)均收敛于x* 大 k k k-1 1-L x1-x0证毕
1 1 * - - - k - £ k k x x L L x x 1 2 2 1 - - - - £ k k x x L L KKK 1 0 1 x x L L k - - £ 由于 L < 1, lim ( x x *) k k - ® ¥ = 0 , ( ) * 0 1 x x x x 因此对任意初值 迭代法 k + = j k 均收敛于 1 1 * - - - k - £ k k x x L L x x 1 0 1 x x L L k - - £ 证毕
定理1指出,只要构造的迭代函数满足 P(x)<l<1 此时虽收敛但不 定是唯一根 迭代法xk+1=0(x)就收敛 对于预先给定的误差限E即要求|xk-x|<E 由6式,只要 L xk-1<8 1-L 因此当|xk-xk-1|< 1-L E≈E L (8) 迭代就可以终止,x可以作为方程的近似解
定理1指出, |j ¢( x)|£ L < 1 - < e - - 1 1 k k x x L L 由(6)式,只要 因此,当 e L L x x k k - - - < 1 1 » e 迭代就可以终止, xk可以作为方程的近似解 只要构造的迭代函数满足 迭代法 xk + 1 = j(xk )就收敛 对于预先给定的误差限 e |x - x*|< e 即要求 k 此时虽收敛但不 一定是唯一根 --------(8)
例2.用迭代法求方程的近似解精确到小数点后6位 ex+10x-2=0 解:由于ex>0,则2-10x>0x<0.2 x<0时,0<e*<1,2-10x>2 因此[00.2]为有根区间 本题迭代函数有两种构造形式 x=1(x)= x=2(x)=ln(2-10x) 10 0.2 10 由于|q1(x) <1|92(x) ≥5 1010 2-10x 因此采用迭代函数x=01(x) 10
例2. 用迭代法求方程的近似解,精确到小数点后6位 e + 10 x - 2 = 0 x 解: 本题迭代函数有两种构造形式 10 2 ( ) 1 x e x x - = j = ( ) ln( 2 10 ) 2 x = j x = - x |j1 ¢( x)| 10 x e = |j2 ¢( x)| 2 10 x 10 - = > 0 , x 由于 e 则2 - 10 x > 0 x < 0.2 1 10 0.2 < < e 10 2 ( ) 1 x e x x - 因此采用迭代函数 = j = x < 0时, 0 < < 1, x e 2 - 10 x > 2 因此 [0 ,0.2 ]为有根区间 由于 ³ 5