二、 "=f(x,y）型的微分方程注：方程特点是设 y'=p(x),则y"=p,不显含变元y则原方程化为关于p的一阶微分方程p'= f(x,p)设其通解为p=(x,C)则得y'=β(x,Cl)再一次积分，得原方程的通解y= J β(x,C)dx + C2O0000x机动自录上页下页返回结束
y = f (x, y ) 型的微分方程 设 y = p(x) , 则原方程化为关于 p 的一阶微分方程: 设其通解为 ( , ) C1 p = x 则得 ( , ) C1 y = x 再一次积分, 得原方程的通解 1 d 2 y = (x,C ) x +C 二、 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注: 方程特点是 不显含变元 y
(1+ x)y" = 2xy例3.求解(J|x=0 =1，J'|x=0 =3解：设y=p(x)，则y"=p,代入方程得2xdxdp分离变量(1+ x2)p'= 2xp(1+x2)p积分得 Inp=ln(1+x2)+lnC l,即p=C(1+x2)利用 |x=0=3,得C=3,于是有'=3(1+×2)两端再积分得y=x3+3x+C2利用 J|x=0 =1,得 C2=1,因此所求特解为y=x3 +3x+1Oe00x机动自录上页下页返回结束
例3. 求解 (1+ x )y = 2xy 2 1, y x =0 = 3 y x =0 = 解: 代入方程得 (1 x )p 2xp 2 + = 分离变量 积分得 ln ln(1 ) ln , 1 2 p = + x + C 3 , 利用 y x =0 = 3, 得 C1 = 于是有 3(1 ) 2 y = + x 两端再积分得 2 3 y = x + 3x +C 利用 1, y x =0 = 1, 得 C2 = 3 1 3 y = x + x + 因此所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束