§7.1点估计 因此我们就以样本阶矩A代替上式中的总体阶矩山，= 1,2.k,并以 0,=0,41,A2,A),1=1,2,k 作为未知参数0，的估计量，1=1,2，.k,这种估计量称为矩 估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值 9矩估计法定义： 象以上过程那样，基于样本矩依概率收敛于总体矩， 并进而有样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函 数的性质，而用样本矩（或样本矩的连续函数）作为相应 的总体矩（或总体矩的连续函数)的估计量，这种估计方 法称为矩估计法。 11/41
§7.1 点估计 因此我们就以样本l阶矩Al代替上式中的总体l阶矩μl，l＝ 1,2,.k，并以 ＝ (A1 , A2 ,., Ak ) ，l＝1,2,.k 作为未知参数 的估计量，l＝1,2,.k，这种估计量称为矩 估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值 矩估计法定义： 象以上过程那样，基于样本矩依概率收敛于总体矩， 并进而有样本矩的连续函数依概率收敛于总体矩的连续函 数的性质，而用样本矩（或样本矩的连续函数）作为相应 的总体矩（或总体矩的连续函数）的估计量，这种估计方 法称为矩估计法。 l ˆ l l 11/41
§7.1点估计 9矩估计法的一般方法： 1°由总体X的概率分布的形式计算总体矩的形式，即 41=EX9=4(01,02,0)21=1,2,.k, 它们是未知参数01,02，0的函数，k的取值与待估的未知 参数个数相同 92°将它们联立得到方程组，并解出未知参数用总体矩表示 的函数形式 。3°直接以样本矩代替总体矩，A代替上式中的总体阶矩41， 1=1,2.k,得到k个估计量0，=8(A1,A2,A),l= 1,2,.k,即得到k个未知参数的矩估计量 。4°以样本值计算出样本矩的观察值并分别代入矩估计量， 得到各个未知参数的估计值 12/41
§7.1 点估计 矩估计法的一般方法： 1°由总体X的概率分布的形式计算总体矩的形式，即 μl＝E(Xl )＝ μl (θ1 , θ2 ,., θk ), l＝1,2,.k， 它们是未知参数θ1 , θ2 ,., θk的函数，k的取值与待估的未知 参数个数相同 2°将它们联立得到方程组，并解出未知参数用总体矩表示 的函数形式 3°直接以样本矩代替总体矩，Al代替上式中的总体l阶矩μl， l＝1,2,.k，得到k个估计量 ＝ (A1 , A2 ,., Ak ) ，l＝ 1,2,.k，即得到k个未知参数的矩估计量 4 °以样本值计算出样本矩的观察值并分别代入矩估计量， 得到各个未知参数的估计值 l ˆ l 12/41
§7.1点估计 例2设总体X在[a,b]上服从均匀分布其中a, b未知，(X1,X2,.,Xn)是来自总体X的样本求a, b的矩估计量 解1°有两个参数，先求前二阶矩 4=E(X)=a+b 凸=E(X2)=(X)+[E(X)-a-b+a+b 12 2°求解未知参数的表达式，用总体矩表示 易知a+b=241 b-a=V12(h-4) 联立方程，解得 a=41-V3(4-4) b=4+V3(42-) 13/41
. , ( , , 的矩估计量 未 知 是来自总体 的样本 求 设总体 在 上服从均匀分布其 中 b b X X X X a X a b a n , , , ) , [ , ] , 1 2 解 ( ) 1 E X , 2 a b ( ) 2 2 E X , 12 4 2 2 a b a b 2 D(X) [E(X)] 易知a b 21 12( ) 2 b a 2 1 例2 §7.1 点估计 1°有两个参数，先求前二阶矩 2°求解未知参数的表达式，用总体矩表示 联立方程，解得 3( ) 2 a 1 2 1 3( ) 2 b 1 2 1 13/41
§7.1点估计 3°以样本k阶矩A1,A2,代替总体k阶矩山1,2， a=4-34-45=X-2X,-明， 6=4+34-)=X+2X,-, 其中4=元，4=∑x 14/41
ˆ 3( ) 2 a A1 A2 A1 ( ) , 3 1 2 n i Xi X n X 3( ) ˆ 2 b A1 A2 A1 ( ) , 3 1 2 n i Xi X n X 3°以样本k阶矩A1 , A2，代替总体k阶矩μ1，μ2， 2 1 2 1 1 , n i i A X A X n 其中 §7.1 点估计 14/41