例1用定积分表示图中四个阴影部分面积 fx)=(×1)2-1 f(x)=X2 f(x)=X2 y f(x)=1 0|a×-102 x a 0 b x -10N72X ① ④ 解:(1)在图①中,被积函数f(x)=x2在[O,a 上连续,且f(x)≥0,根据定积分的几何意 义,可得明影部分的面积为A=「ax2ax
例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积 义，可得阴影部分的面积为 上连续，且 根据定积分的几何意 （ ）在图①中，被积函数 在 ， ( ) 0, 1 ( ) [0 ] 2 = f x 解： f x x a A x dx a 2 = 0 0 a 0 0 0 y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2 -1 ① ② ③ ④
y y y fx)=(x×=1)2-1 f(X=X X)= f(x)=1 a x-102×a0bx-102 ② ④ ④ 解:(2)在图②中,被积函数(x)=x在[-1,2 上连续,且f(x)≥0,根据定积分的几何意 义,可得阴影部分的面积为 A
义，可得阴影部分的面积为 上连续，且 根据定积分的几何意 （ ）在图②中，被积函数 在 ， ( ) 0, 2 ( ) [ 1 2] 2 = − f x 解： f x x A x dx 2 2 = −1 0 a 0 0 0 y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2 -1 ① ② ③ ④
y y y fx)=(x×=1)2-1 f(X=X X)= f(x)=1 a x-102×a0bx-102 ② ④ ④ 解:(3)在图③中,被积函数f(x)=1在,b 上连续,且f(x)>0,根据定积分的几何意 义,可得因影部分的面积为A=∫a4
义，可得阴影部分的面积为 上连续，且 根据定积分的几何意 （ ）在图③中，被积函数 在 ， ( ) 0, 3 ( ) 1 [ ] = f x 解： f x a b A dx b = a 0 a 0 0 0 y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2 -1 ① ② ③ ④
y y y fx)=(x×=1)2-1 f(X=X X)= f(x)=1 a x-102×a0bx-102 ② ④ ④ 解:(4)在图④中,被积函数f(x)=(x-1)2-1在[ 上连续,且在[-1,0]上f(x)≥0,在[O,21上f(x)≤0, 根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为 A=|0[(x-1)2-1]x-|3(x-1)2-1kx
根据定积分的几何意义可得阴影部分的面积为 上连续，且在 ，上 在 ，上 ， （ ）在图④中，被积函数 在 ， [ 1 0] ( ) 0, [0 2] ( ) 0 4 ( ) ( 1) 1 [ 1 2] 2 − = − − − f x f x 解： f x x A x dx x dx = − [( −1) −1] − [( −1) −1] 2 2 0 0 2 1 0 a 0 0 0 y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -1 2 f(x)=1 a b -1 2 f(x)=(x-1)2 -1 ① ② ③ ④
例2计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的 图形的面积 解两曲线的交点解方程 y =x x y=x (0,0)(1,1) y= 选x为积分变量x∈|0, 面积元素dA=(x-x2)x 3 A=(√x-x2)dx 3 3 0 注被积函数为上-下,上为=x下为y=x2
例 2 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围成的 图形的面积. 解 两曲线的交点， (0,0) (1,1) 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − 选 x 为积分变量 x[0,1] A ( x x )dx 2 1 0 = − 1 0 3 3 3 2 2 3 = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y = = 2 2 y x y x 解方程组 注 被积函数为上-下，上为 y = x 下为 2 2 y = x