2）定理条件只是充分的本定理可推广为在（α，b）内可导,且y=f(x)limf(x)limf()志使在(α,b）内至少存在一点F'=0f(ax=a设证明提示：F(x)fx).a<x<bf(b),x=h证 F(x)在[α,b] 上满足罗尔定理HIGH EDUCATION PRESS上页机动目录下页返回结束
使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 𝑦 = 𝑓(𝑥) 在 ( a , b ) 内可导, 且 lim 𝑥→𝑎+ 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→𝑏− 𝑓(𝑥) 在( a , b ) 内至少存在一点 𝜉, 𝑓 ′ (𝜉) = 0. 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑎 +) , 𝑥 = 𝑎 𝑓(𝑥) , 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 𝑓(𝑏 −) , 𝑥 = 𝑏 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. x5-5x+1=0证明方程有且仅有一个小于1 的正实根证:1) 存在性f(x) =x5-5x+1则设F(x)在[0，11连续，且使XoE(0,1)由介值定理知存在f(0)=1f(1)=-3F(x)=0即方程有小于1的正根XO2) 唯一性假设另有XE(O,),X1#Xo使f(X)）=0”f(x)在以Xo.X为端点的区间满足罗尔定理条件，在x之间至少存在一点使于周=0f'(0) = 5(r4- 1)但矛盾,故假设不真0,XE(O.1)HIGH EDUCATION PRESS机动目录上页下页返回结束
例1. 证明方程 𝑥 5 − 5𝑥 + 1 = 0 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 − 5𝑥 + 1 , 𝑓(0) = 1 , 𝑓(1) = −3. 𝑓(𝑥0) = 0, 𝑥1 ∈ (0 , 1) , 𝑥1 ≠ 𝑥0 , 𝑓 ′ (𝑥) = 5(𝑥 4 − 1) 0, 𝑥 ∈ ( 0 , 1 ), 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 𝑓(𝑥) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 𝑥0 ∈ (0 , 1) , 使 即方程有小于 1 的正根 𝑥0 . 2) 唯一性 . 假设另有 使 𝑓(𝑥1) = 0, ∵ 𝑓(𝑥) 在以 𝑥0 , 𝑥1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , ∴ 在 𝑥0 , 𝑥1 之间 至少存在一点 𝜉 , 使 𝑓 ′ (𝜉) = 0 . 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、拉格朗日中值定理y=f(x)满足y=f(x)(1)在区间［α，bl上连续bO大(2)在区间（α,b）内可导f(b)-f(aF'C使至少存在一点E (a,b)b-af(b) -f(a)0f证：问题转化为证面中中f(b)=f(a)作辅助函数f(x)中b-aAagrunge显然在［α，,b]上连续,在（α,b）内可导，且中(x)电bf(a)-af(b)由罗尔定理知至少存在一点中(a)中(b)二b-a思路：利用逆向思维找谢定理麗登定牵件的函数中ILL?HIGHEDUCATION PRESS拉氏目录上页下页返回结束
二、拉格朗日中值定理 𝜙′(𝜉) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 𝑦 = 𝑓(𝑥) 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 𝜉 ∈ (𝑎, 𝑏) , 使 𝑓 ′ (𝜉) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 . 𝜉 𝑥 𝑦 𝑜 𝑎 𝑏 𝑦 = 𝑓(𝑥) 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , 𝜙(𝑥) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 证: 问题转化为证 𝜙(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 𝑥 𝜙(𝑎) 由罗尔定理知至少存在一点 𝜉 ∈ (𝑎 , 𝑏) , 使 𝜙 ′ (𝜉) = 0 , 即定理结论成立 . = = 𝜙(𝑏) , 𝑏𝑓(𝑎) − 𝑎𝑓(𝑏) 𝑏 − 𝑎 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 𝑓 ′ (𝜉) − 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 = 0 证毕
拉格朗日中值定理的有限增量形式则a=xn,b=xo十4x4y=f(o+04x)4x(0<6<1)则推论：F'()=0若函数f(x)f(x)在区间I上满足在1上必为常数在]上用拉证：在1上任取两点X1X2X1<X2日中值公式，得(X1<E<X2)= F'((X2- xD)f(x2)-f(xD)山0. f(X2) =f(xD由的任意性知，在1上为常数X1xf(x)HIGH EDUCATION PRESS上页机动目录下页返回结束
拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论: 若函数 在区间 I 上满足 𝑓 ′ (𝑥) ≡ 0 , 则 𝑓(𝑥) 在 I 上必为常数. 𝑓(𝑥) 证: 在 I 上任取两点 𝑥1 , 𝑥2 (𝑥1 < 𝑥2) , 在 [𝑥1 , 𝑥2] 上用拉 日中值公式 , 得 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) = 𝑓 = 0 ′ (𝜉)(𝑥2 − 𝑥1) (𝑥1 < 𝜉 < 𝑥2) ∴ 𝑓(𝑥2) = 𝑓(𝑥1) 由 的任意性知, 𝑥1 , 𝑥2 𝑓(𝑥) 在 I 上为常数 . 𝛥𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥0 + 𝜃 𝛥𝑥)𝛥𝑥 (0 < 𝜃 < 1) 令 𝑎 = 𝑥0 , 𝑏 = 𝑥0 + 𝛥𝑥 , 则 𝜉 机动 目录 上页 下页 返回 结束