fx)=f0)+f0x+f'0x2++f0x 2! k! =C+C1x+C2x2+.+Cx, 即多项式函数的幂级数展开式就是它本身. 例3求函数fc)=e*的幂级数展开式. 解由于f(x)=e,m(0)=1(n=1,2,.),因此f 的拉格朗日余项为R.)x0sOs》 显见 前页 后页 返回
前页 后页 返回 = + + + + ( ) 2 (0) (0) ( ) (0) (0) 2! ! k k f f f x f f x x x k 即多项式函数的幂级数展开式就是它本身. 例3 求函数 f (x) = e x 的幂级数展开式. 解 ( ) ( ) ( ) e , (0) 1( 1,2, ), n x n 由于 f x f n f = = = 因此 e 1 ( ) (0 1). ( 1)! x n R x x n n + = + 的拉格朗日余项为 显见 = + + + + 2 0 1 2 , k k c c x c x c x
el R(x) xm1. (n+1) 6 y=ex 对任何实数x,都有 ehy 4 (0 lim- (n=2) 2 (n=0) 因而imR(x)=0. 0 n-→o (n=3) -2H 由定理14.11得到 .11 e=1+x+ 2t.士x”+xE0,+o 1!2! 前页 后顶 返回
前页 后页 返回 | | e 1 | ( ) | | | . ( 1)! x n R x x n n + + 对任何实数 x, 都有 | | e 1 lim | | 0, ( 1)! x n n x n + → = + → n = n 因而 lim ( ) 0. R x 由定理 14.11得到 1 1 1 2 e 1 , ( , ). 1! 2! ! x n x x x x n = + + + + + − + ( ) n = 0 ( ) n = 3 ( ) n = 2 e x y = −1 O 1 x 2 2 4 6 −2 y