成都信息工程学院：《空间解析几何线性代数》课程电子教案（PPT课件）第七章 向量空间的正交性（7.2）二次型的标准形

n阶可逆矩阵C,使得 B=C AC 那么称矩阵A与矩阵B合同 合同是矩阵之间的一种关系.不难验证,矩阵的 合同关系是等价关系 要使二次型f=xAx经过满秩线性变换x=Cy 化成标准形,也就是使 X Ax=y(C AC)y=k,D1+k2y2+.+k,y

n 阶可逆矩阵 C ，使得 B C AC  = 那么称矩阵 A 与矩阵 B 合同． 合同是矩阵之间的一种关系．不难验证，矩阵的 合同关系是等价关系． 要使二次型 f x Ax T = 经过满秩线性变换 x = Cy 化成标准形，也就是使 2 2 2 2 2 1 1 ( ) n n A = C AC = k y + k y + + k y x  x y   y 

这个问题从矩阵的角度来说,就是对于一个实对 称矩阵A,寻求一个可逆矩阵C,使得CTAC为对角 矩阵,即 k C AC 此时,实对称矩阵A与对角矩阵合同

( )                             = n n n y y y k k k y y y    2 1 2 1 1 2 这个问题从矩阵的角度来说，就是对于一个实对 称矩阵 A ，寻求一个可逆矩阵 矩阵，即 C ，使得 C AC  为对角               =  n k k k C AC  2 1 此时，实对称矩阵A与对角矩阵合同．

由第七章定理7.5知,任给实对称矩阵A,总有正交 矩阵C,使 C AC=CAC 其中 n是A的n个特征值.把这个结果用于 二次型,就有 定理82任给实二次型∫=xx,总有正交变换 x=Cy,使∫化为标准形

由第七章定理7.5知，任给实对称矩阵 矩阵 A ,总有正交 C ，使               = =  − n C AC C AC     2 1 1 其中   n , , , 1 2  是A的n 二次型，就有 个特征值．把这个结果用于 定理8.2 任给实二次型 f x Ax T = ，总有正交变换 x = Cy ，使 f 化为标准形

便有λ1,3…λ是f的矩阵的n个特征值 下面通过举例介绍化二次型为标准形的两种常 用方法

便有   n , , , 1 2  是 f 的矩阵A的n 个特征值． 下面通过举例介绍化二次型为标准形的两种常 用方法．