例1 讨论p级数1 ++·(常数p>0)的敛散性解:1)若 p≤l,因为对一切 neZ+87Z>发散，由比较审敛法可知p级数而调和级数一n=inpnn=l发散HIGH EDUCATION PRESS
例1 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因为对一切 而调和级数 =1 1 n n 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 发散 . 发散
故2)若p>l,因为当n-1<x≤n时ndx≤hp-0-np-1(n +1)p-13p0-7n→8Zan=kp-1(k + 1)p-1(n + 1)p-1k=l故级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛HIGH EDUCATION PRESS
p 1, 因为当 , 1 1 p p n x 故 − = n p n p x n n 1 d 1 1 − n n p x x 1 d 1 − − − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 考虑强级数 − − − − = 1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和 n + − = − − = 1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 时, 1 ( 1) 1 1 − + = − p n + + + − + − − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n 1 2) 若
2收敛，发散。例如：2nn=lVnn=l81Z例2发散。证明级数n(n+1)n=1证：因为(n=1,2,...)n+ln(n+l(n+1)4Z而级数发散，由比较审敛法可知，原级数发散。n+1n=1HIGH EDUCATION PRESS
证明级数 发散。 证: 因为 2 ( 1) 1 ( 1) 1 + n n + n 而级数 发散，由比较审敛法可知, 原级数发散。 例2 例如：
8>推论1对于正项级数若N,当n>N时，有Vunn=ln=1定理2的结论仍成立un≤n'8推论2对于正项级数若N,当n>N时，有Un=ln=1un≤kvn，k为大于0的常数，定理2的结论仍成立HIGH EDUCATION PRESS
推论1 推论2
设两正项级数定理3（比较审敛法的极限形式）88un =l,则有Zun，Zvn 满足limn-0Vnn=ln=l(1)当0 <l<8 时,两个级数同时收敛或发散88Eunt也收敛;(2)当 1=0 且 Zvn 收敛时,n=1n=188Zun也发散(3) 当 /=o0 且 Zvn 发散时n=1n=1证：据极限定义,对ε>0,存在NEZ+,当n>N时"n-l|<8(1±8)nHIGH EDUCATION PRESS
定理3 (比较审敛法的极限形式) lim l, v u n n n = → 则有 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义, 设两正项级数 满足 (1) 当 0 < l <∞ 时