现在分别以Sg和S记级数aun与8yn的部分和. 由(1)式可得，对一切正整数n,都有 Se￡Se (2) 若8y,收敛，即imS存在，则由(2)式对一切n有 Sg￡limS9,即正项级散8山n的部分和散列{S}有 界，由定理12.5级数8un收做，返就证明了（①） )为（①的逆否命题，自然成立. 前项
前页 后页 返回 由(1)式可得,对一切正整数 n, 都有 则由(2)式对一切 n 有 , 即正项级数 的部分和数列 有 界, 由定理12.5级数 收敛, 这就证明了(i). (ii)为(i)的逆否命题,自然成立
1 例1考察a .n+1 的收敛性， 解由于当n32时，有 1 ￡1 n2-n+1n2-n n(n-1) ￥ 因为正项级散且 1 2n(n-1) 收数(S1例5的注)，故由 玉数屋时知定理123，级散日1号 也收敛 前过
前页 后页 返回 例1 解 因为正项级数 收敛 (§1例5的注), 故由 比较原则和定理12.3, 级数 也收敛
例2若级数84，a收敛，则级数8u,yn收敛， 证因为uv+y品，币级数a,8v听收敛， 根据比数原则，得到级散8unyn收敛. wYi 1 例3证明级数 证明 1 √n(n+1) n+1 而级数81 发散， n=1n+1 1级数a 发散 n=1 n(n+1)
前页 后页 返回 例2 若级数 证 因为 , 而级数 收敛， 根据比较原则, 得到级数 收敛. 证明
注：应用比较审敛法须有参考级数，作为比较标准 重要参考级数：几何级数，P-级数，调和级数 在实际使用上，比较原则的极限形式通常更方便. 推纶（比数原则的极限形式）设un,8'n是两个 正项级数，若 lim (3) n®￥Vn 则 (i)当0<1<+Y时，级数8wn,ay,同敛散； ()当1=0且级数v,收敛时，级数w也收敛； ()当1=+￥且级数8y发散时，级数？w也发散
前页 后页 返回 注:应用比较审敛法须有参考级数,作为比较标准. 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 在实际使用上,比较原则的极限形式通常更方便. 推论 (比较原则的极限形式) 设 是两个 正项级数,若 则
证明()由im-1对于e={>0,$N,当n>N时， n®￥Vn 2 2 Vn 由比较原则，得证 ()由im4=0 n®￥Vn 对于e=1>0,$N2,当n>N时， 1<<1即-y,<4,<y,n>N) ￥ 由8yn<￥ba4n<￥ 得证 n=1 n=1 前顶
前页 后页 返回 证明 由比较原则, 得证. 得证