244第8章重积分第二节二重积分的计算计算二重积分从定义上看是要求积分和式的极限，这在实际上是不可行的。实际计算二重积分的基本思路是：在二重积分存在的前提下，利用特殊的两组曲线，通常是所谓的坐标线来对积分区域作分划，以此化成做两个相串的定积分，叫做二次积分积分（或累次）：而化二次积分的实质是把二重极限化成二次极限来计算：因此，同一个二重积分在不同的坐标系中（例如直角坐标系、极坐标系等）可以化为不同形式的二次积分。一、利用直角坐标计算二重积分下面用几何观点来讨论二重积分[[f(x,y)da的计算间题，在讨论中我们假定f(x,y)≥0.1.直角坐标系下二次积分计算公式在直角坐标平面上，由连续曲线y=g(x),y=p(x)(g(x)≤p(x)及直线x=a,x=b(a≤b)所围成的区域D称为X型区域（图8-6)，用不等式表示为D:a≤x≤b,p(x)≤y≤p(x)其特点是过D内部任意一点且平行于y轴的直线与D的边界交点不多于两点，y=o,(x)J-(x)图8-6类似地，直角坐标平面上由连续曲线x=(y),x=(y)(y,(y)≤(y))及直线y=c,y=d所围成的区域D称为Y型区域（图8-7)，用不等式表示为D:,(y)≤x≤w,(),c≤y≤d其特点是过D内部任意一点且平行于x轴的直线与D的边界交点不多于两点，价.W()图8-7注意：如果积分区域D是一些规则区域如矩形、圆或椭圆形、三角形等，那么D既是X型区域又是Y型区域：如果积分区域D如图8-8（@)那样，任意穿过D内部且平行于v轴的直线与D的边界交点不多于两点，而有一部分使穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交多于两点，那么D是X型区域，但不是Y型区域，如果积分区域D如图8-8（b）那样，任意穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界交点不多于两点，而有一部分使穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交多于两点，那么D不是X型区域，是Y型区域：如果积分区域D如图8-8（c）那样，既有一部分使穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交多于两点：又有一部分使穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交多于两点，那么D既不是X型区域，又不是Y型区域
244 第 8 章 重积分 第二节 二重积分的计算 计算二重积分从定义上看是要求积分和式的极限，这在实际上是不可行的．实际计算二重积分的 基本思路是：在二重积分存在的前提下，利用特殊的两组曲线，通常是所谓的坐标线来对积分区域作 分划，以此化成做两个相串的定积分，叫做二次积分积分(或累次) ．而化二次积分的实质是把二重极 限化成二次极限来计算．因此，同一个二重积分在不同的坐标系中(例如直角坐标系、极坐标系等)可以 化为不同形式的二次积分． 一、利用直角坐标计算二重积分 下面用几何观点来讨论二重积分 ( , ) D f x y dσ ÚÚ 的计算问题，在讨论中我们假定 f (x, y) ³ 0 ． 1. 直角坐标系下二次积分计算公式 在直角坐标平面上，由连续曲线 1 2 1 2 y =j (x), y =j (x)(j (x) £j (x))及直线 x = a, x = b(a £ b) 所围成的 区域 D 称为 X 型区域(图 86)，用不等式表示为 D : 1 2 a £ x £ b,j (x) £ y £ j (x) ． 其特点是过 D 内部任意一点且平行于 y 轴的直线与 D 的边界交点不多于两点． 图 86 类似地，直角坐标平面上由连续曲线 1 2 1 2 x =y ( y), x =y ( y)(y ( y) £y (y))及直线 y = c, y = d 所围成的 区域 D 称为 Y 型区域(图 87)，用不等式表示为 D : 1 2 y ( y) £ x £y ( y), c £ y £ d ． 其特点是过 D 内部任意一点且平行于 x 轴的直线与 D 的边界交点不多于两点． 图 87 注意：如果积分区域 D 是一些规则区域如矩形、圆或椭圆形、三角形等，那么 D 既是 X 型区域又 是Y 型区域；如果积分区域 D 如图 88(a)那样，任意穿过 D 内部且平行于 y 轴的直线与 D 的边界交点 不多于两点，而有一部分使穿过 D 内部且平行于 x 轴的直线与 D 的边界相交多于两点，那么 D 是 X 型 区域，但不是Y 型区域． 如果积分区域 D 如图 88(b)那样， 任意穿过 D 内部且平行于 x 轴的直线与 D 的 边界交点不多于两点，而有一部分使穿过 D 内部且平行于 y 轴的直线与 D 的边界相交多于两点，那么 D 不是 X 型区域，是Y 型区域．如果积分区域 D 如图 88(c)那样，既有一部分使穿过 D 内部且平行于 x 轴的直线与 D 的边界相交多于两点；又有一部分使穿过 D 内部且平行于 y 轴的直线与 D 的边界相交 多于两点，那么 D 既不是 X 型区域， 又不是Y 型区域．
245第二节二重积分的计算(6)(c)(a)图8-8据二重积分的几何意义可知，[f(x,y)dg的值等于以x型区域D为底，以曲面z=f(x,)为顶的D曲顶柱体的体积（图8-9)(xy)f(xy2(x)P2(x)p,(x)=p,(x)图8-9图8-10用平行于yOz坐标面的平面x=x(a≤x≤b)去截曲顶柱体得一截面，它是一个以区间[9(x),9,())为底，以==f(x,J)为曲边的曲边梯形(图8-9)，其面积为A(x)=["f(xo,y)dy.一般地，过区间[a,b]上任一点且平行于yO坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为A(x)= [f(x,y)dy,其中y是积分变量，x在积分时保持不变，因此A(x)是x的函数，在区间[a,b]上，用平行于yOz坐标面的平面把曲顶柱体切割成许多薄片(图8-10)在位于x与x+d之间的薄片的厚度为dx，于是薄片的体积微元为dV = A(x)dx.所以曲顶柱体的体积为V=f"'dv -"A(x)dx='tfa( (x,y)dy]dx,即JJ(x,y)dxdy=a((x,y)dyldx'axa(, (x,)dy该公式是直角坐标系下求二重积分的二次积分公式，称为X型公式，它是先对y，后对x的二次积分．也就是先把x当作常数，把f(xy)看作y的函数，并对y从(x)到,(x)的定积分：这样积分的结果是x的函数：然后把这个结果在区间[a,b]上再对x积分在上述讨论中，假定了f(x,Jy)≥0，但公式并不受此条件限制，没有这个假设公式仍然成立，类似地，可得以Y型区域D为底，以曲面z=f(x,y)为顶的曲顶柱体的体积的Y型公式：[[(x, )ddy=I't (x,y)dxdy= d) (,y)dx.Y型公式是先对x，后对y的二次积分也就是先把y当作常数，把f(x,y)看作x的函数，并对x从y(y)到y(y)的定积分．这样积分的结果是y的函数：然后把这个结果在区间[c,d上再对y积分对于积分区域D既非X型又非Y型的情形，通过适当增加辅助线的方法，将其分成一些小块（图8-11),而每小块都至少是X型或Y型区域，再利用二次积分公式及重积分对区域的可加性就可算得二重积分
第二节 二重积分的计算 245 图 88 据二重积分的几何意义可知， ( , ) D f x y dσ ÚÚ 的值等于以 X 型区域 D 为底，以曲面 z = f (x, y) 为顶的 曲顶柱体的体积(图 89)． 图 89 图 810 用 平行于 yOz 坐 标面 的平面 0 0 x = x (a £ x £ b) 去 截曲顶 柱体得 一截面 ，它是 一个以 区间 1 0 2 0 [j (x ),j (x )]为底，以 0 z = f (x , y) 为曲边的曲边梯形(图 89)，其面积为 2 0 1 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( , ) x x A x f x y dy j j = Ú ． 一般地，过区间[a,b ]上任一点且平行于 yOz 坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为 2 1 ( ) ( ) ( ) ( , ) x x A x f x y dy j j = Ú ， 其中 y 是积分变量， x 在积分时保持不变．因此 A(x) 是 x 的函数． 在区间[a,b ] 上，用平行于 yOz 坐标面的平面把曲顶柱体切割成许多薄片(图 810)．在位于 x 与 x + dx 之间的薄片的厚度为dx ，于是薄片的体积微元为 dV = A(x)dx ． 所以曲顶柱体的体积为 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ( , ) ] b b b x a a a x V dV A x dx f x y dy dx j j = = = Ú Ú Ú Ú ， 即 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) [ ( , ) ] ( , ) b x b x a x a x D f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy j j j j = ÚÚ Ú Ú Ú Ú @ ． 该公式是直角坐标系下求二重积分的二次积分公式，称为 X 型公式，它是先对 y ，后对 x 的二次 积分．也就是先把 x 当作常数，把 f (x, y)看作 y 的函数，并对 y 从 1 j (x) 到 2 j (x)的定积分．这样积分的 结果是 x 的函数．然后把这个结果在区间[a,b ]上再对 x 积分． 在上述讨论中，假定了 f (x, y) ³ 0 ，但公式并不受此条件限制，没有这个假设公式仍然成立． 类似地，可得以Y 型区域 D 为底，以曲面 z = f (x, y) 为顶的曲顶柱体的体积的Y 型公式： 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) [ ( , ) ] ( , ) d y d y c y c y D f x y dxdy f x y dx dy dy f x y dx y y y y = ÚÚ Ú Ú Ú Ú @ ． Y 型公式是先对 x ，后对 y 的二次积分．也就是先把 y 当作常数，把 f (x, y)看作 x 的函数，并对 x 从 1 y ( y) 到 2 y ( y) 的定积分．这样积分的结果是 y 的函数．然后把这个结果在区间[c,d ] 上再对 y 积分． 对于积分区域 D 既非 X 型又非Y 型的情形，通过适当增加辅助线的方法，将其分成一些小块(图 811),而每小块都至少是 X 型或 Y 型区域， 再利用二次积分公式及重积分对区域的可加性就可算得二重 积分．
246第8章重积分.图8-112.直角坐标系下二次积分的计算直角坐标系下，把二重积分化为二次积分的计算，大致需要以下几个过程：1）画积分区域D的草图，求出D的边界曲线的交点坐标2)确定积分区域D的类型，即选择X型公式还是Y型公式，也就是选择积分次序.确定积分区域D的类型，其第一原则-函数原则：必须保证各层积分的原函数能够求出：第二原则一区域原则：若积分区域是X型（或Y型），则先对y（或x型）积分。第三原则一分块原则：若积分区域既是X型又是型Y且满足第一原则时，要使积分分块最少3)用几何法确定二次积分的上下限.如果积分区域D是X型的（图8-12(α)），后积分的x先确定下限a和上限b，其次限内划条线，即在x的积分限[a,b]内上任取一点x，过x作平行于y轴的直线，该直线穿过区域D，最后是先交下限写，后交上限见，即穿入点与穿出点的纵坐标g(x)、(x)就是积分变量y的下限和上限类似地，如果积分区域D是Y型的（图8-12(b)），后积分的y先确定积分下限c和上限d，其次限内划条线，即在y的积分限[c,d]内任取一点y，过y作平行于x轴的直线，该直线穿过区域D，最后是先交下限写，后交上限见，即穿入点与穿出点的横坐标(y)、()就是积分变量x的下限和上限．将二次积分的上下限的确定概括为：后积先定限，限内划条线，先交下限写，后交上限见，4)将被积函数及上下限代入二次积分计算公式，求出二重积分：一般二次积分中的两个定积分的积分下限未必小于上限，但表示重积分的二次积分中的两个定积分的积分下限必须小于上限，w(y)(b)(a)图8-12例1计算[[xydxdy，其中D是由x=1，y=x，y=0所围成的区域.1,1(a)(b)图8-13解法1首先画出积分区域D的草图，其边界交点(0.0)(1,0)(1,1)，如图8-13(α)所示.选择D为X型区域D:0≤x≤1,0≤y≤x则积分变量x的下限和上限分别为0,1.在x的积分限[0,1]上任意取定一个x值，过x作平行于y轴的直线，该直线穿过区域D，穿入点与穿出点的纵坐标分别为O,x，即积分变量y的积分下限和上限分别为0,x：利用X型公式得
246 第 8 章 重积分 图 811 2. 直角坐标系下二次积分的计算 直角坐标系下，把二重积分化为二次积分的计算，大致需要以下几个过程： 1)画积分区域 D 的草图，求出 D 的边界曲线的交点坐标． 2)确定积分区域 D 的类型， 即选择 X 型公式还是Y 型公式， 也就是选择积分次序． 确定积分区域 D 的类型，其第一原则函数原则：必须保证各层积分的原函数能够求出；第二原则—区域原则：若积分 区域是 X 型（或Y 型），则先对 y （或 x 型）积分．第三原则—分块原则：若积分区域既是 X 型又是型 Y 且满足第一原则时，要使积分分块最少． 3)用几何法确定二次积分的上下限．如果积分区域 D 是 X 型的（图 812(a)） ，后积分的 x 先确定 下限a 和上限b ，其次限内划条线，即在 x 的积分限[a,b ]内上任取一点 x ，过 x 作平行于 y 轴的直线， 该直线穿过区域 D ，最后是先交下限写，后交上限见，即穿入点与穿出点的纵坐标 1 j (x) 、 2 j (x) 就是 积分变量 y 的下限和上限．类似地，如果积分区域 D 是Y 型的（图 812(b)），后积分的 y 先确定积分下 限c 和上限 d ，其次限内划条线，即在 y 的积分限[c,d ] 内任取一点 y ，过 y 作平行于 x 轴的直线，该 直线穿过区域 D ，最后是先交下限写，后交上限见，即穿入点与穿出点的横坐标 1 y ( y) 、 2 y ( y) 就是积 分变量 x 的下限和上限．将二次积分的上下限的确定概括为：后积先定限，限内划条线，先交下限写， 后交上限见． 4)将被积函数及上下限代入二次积分计算公式，求出二重积分．一般二次积分中的两个定积分的 积分下限未必小于上限，但表示重积分的二次积分中的两个定积分的积分下限必须小于上限． 图 812 例 1 计算 2 D xy dxdy ÚÚ ，其中 D 是由 x =1， y = x ， y = 0所围成的区域． 图 813 解法1 首先画出积分区域 D 的草图，其边界交点(0,0),(1,0),(1,1) ，如图813(a)所示．选择 D 为 X 型区域 D: 0 £ x £1, 0 £ y £ x ．则积分变量 x 的下限和上限分别为 0,1 ．在 x 的积分限[0,1] 上任意取定 一个 x 值，过 x 作平行于 y 轴的直线，该直线穿过区域 D ，穿入点与穿出点的纵坐标分别为0, x ， 即积 分变量 y 的积分下限和上限分别为0, x ．利用 X 型公式得
247第二节二重积分的计算'rdx=![] xy'dxdy =1dxxydy=3J015解法2积分区域D的草图，其边界交点(0,0),(1,0)(1,1)，如图8-13(b)所示.选择D为Y型区域D：y≤x≤1,0≤y≤1.则积分变量y的下限和上限分别为0,1.在y的积分限[0,1]上任意取定一个y值，过y作平行于x轴的直线，该直线穿过区域D，穿入点与穿出点的横坐标分别为y,1，即积分变量y的积分下限和上限分别为y,1.利用Y型公式得13-(y(1-y")dy =[xydxdy=['dy[xydx=y'[x'],dy =-本例中选择积分区域D为X型区域或Y型区域的两种解法，尽管它们的积分顺序不同，但解题过程的难易程度不分伯仲。例2求[[xydo，其中D是由y=x，y=2-x和x轴所围成的区域.解法1首先画出积分区域D的草图，其边界交点(0,0),(2,0),(1,1)，如图8-14(a)所示．选择D为X型区域，那么D分为两个子区域D:0≤x≤10≤y≤x，D,:1≤x≤2,0≤y≤2-x，当积分变量x的积分下限和上限分别为0,1时，在x的积分限[0,1]上任意取定一个x值，过x作平行于y轴的直线穿过区域D，穿入点与穿出点的纵坐标分别为0,x，即积分变量y的积分下限和上限分别为0,x：当积分变量x的积分下限和上限分别为1,2时，在x的积分限[1,2]上任意取定一个x值，过x作平行于y轴的直线穿过区域D，，穿入点与穿出点的纵坐标分别为0,2-x，即积分变量y的积分下限和上限分别为0,2-x：利用X型公式及重积分的对区域可加性得I a+a+da(2-=+pr-+++-xdx+2.J0834.1(a)(b)图8-14解法2积分区域D的草图，其边界交点为(0,0)(2,0),(1,1)，如图8-14(b)所示。选择D为Y型区域D:y≤x≤2-y,0≤y≤1，则积分变量y的下限和上限分别为0,1.在y的积分限[0,1]上任意取定一个值，过y作平行于x轴的直线穿过区域D，穿入点与穿出点的纵坐标分别为y,2-y，即积分变量x的积分下限和上限分别为y,2-y.利用X型公式得[ xdxdy=Ja,xdx=Jr/2]-dy =J(2y-2y)dy=[y-2/3] =3本例中选择积分区域D为X型区域或Y型区域的两种解法，它们的积分顺序不同，解题过程的难易程度出现差异，显然解法2比解法1简单一些例3计算[【xydo，其中D是抛物线y=x与直线y=x-2所围成的区域
第二节 二重积分的计算 247 2 D xy dxdy ÚÚ 1 2 0 0 x = dx xy dy Ú Ú 1 4 0 1 3 = x dx Ú 1 15 = ． 解法 2 积分区域 D 的草图，其边界交点(0,0),(1,0),(1,1) ，如图 813(b)所示．选择 D 为Y 型区域 D: y £ x £1, 0 £ y £ 1．则积分变量 y 的下限和上限分别为 0,1 ．在 y 的积分限[0,1] 上任意取定一个 y 值，过 y 作平行于 x 轴的直线，该直线穿过区域 D ，穿入点与穿出点的横坐标分别为 y,1， 即积分变量 y 的积分下限和上限分别为 y,1．利用Y 型公式得 2 D xy dxdy ÚÚ 1 1 2 0 y = dy xy dx Ú Ú 1 2 2 1 0 1 [ ] 2 y = y x dy Ú 1 2 2 0 1 (1 ) 2 = y - y dy Ú 3 5 1 0 1 1 1 [ ] 2 3 5 = y - y 1 15 = ． 本例中选择积分区域 D 为 X 型区域或Y 型区域的两种解法，尽管它们的积分顺序不同，但解题过 程的难易程度不分伯仲． 例 2 求 D xyds ÚÚ ，其中 D 是由 y = x ， y = 2 - x 和 x 轴所围成的区域． 解法 1 首先画出积分区域 D 的草图，其边界交点 (0,0),(2,0),(1,1) ，如图 814(a)所示．选择 D 为 X 型区域，那么 D 分为两个子区域 1 D : 0 £ x £1, 0 £ y £ x ， 2 D :1£ x £ 2, 0 £ y £ 2 - x ，当积分变量 x 的 积分下限和上限分别为0,1时，在 x 的积分限[0,1] 上任意取定一个 x 值，过 x 作平行于 y 轴的直线穿过 区域 D 1，穿入点与穿出点的纵坐标分别为0, x ， 即积分变量 y 的积分下限和上限分别为0, x ．当积分变 量 x 的积分下限和上限分别为1,2 时，在 x 的积分限[1,2] 上任意取定一个 x 值，过 x 作平行于 y 轴的直 线穿过区域 D 2 ，穿入点与穿出点的纵坐标分别为 0,2 - x ，即积分变量 y 的积分下限和上限分别为 0,2 - x ．利用 X 型公式及重积分的对区域可加性得 1 2 2 0 0 1 0 + x x D xydxdy dx xydy dx xydy - = ÚÚ Ú Ú Ú Ú 1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 [ ] + [ ] 2 2 x x x y dx x y dx - = Ú Ú 1 2 3 2 0 1 1 1 + (2 ) 2 2 = x dx x - x dx Ú Ú 4 1 2 3 4 2 0 1 1 1 4 1 + [2 + ] 8 2 3 4 = x | x - x x 1 3 = ． 图 814 解法 2 积分区域 D 的草图，其边界交点为(0,0),(2,0),(1,1) ，如图 814(b)所示．选择 D 为Y 型区域 D: y £ x £ 2 - y, 0 £ y £ 1，则积分变量 y 的下限和上限分别为 0,1 ．在 y 的积分限[0,1] 上任意取定一个 y 值，过 y 作平行于 x 轴的直线穿过区域 D ，穿入点与穿出点的纵坐标分别为 y,2 - y ，即积分变量 x 的积分下限和上限分别为 y,2 - y ．利用 X 型公式得 1 2 1 2 2 0 0 [ 2] y y y y D xydxdy dy xydx x y dy - - = = ÚÚ Ú Ú Ú 1 2 2 3 1 0 0 1 (2 2 ) [ 2 3] 3 = y - y dy = y - y = Ú ． 本例中选择积分区域 D 为 X 型区域或Y 型区域的两种解法，它们的积分顺序不同，解题过程的难 易程度出现差异，显然解法 2 比解法 1 简单一些． 例 3 计算 D xyds ÚÚ ，其中 D 是抛物线 2 y = x 与直线 y = x - 2 所围成的区域．