一、函数和积商的求导法则 注记5定理(1-2)可以推广到 推论1：如果函数(x)在点x处可导 有限个函数上 则函数fx)=au(x)在点x处可导，耳 （1)若函数4(x),4,(x,4.(x)都在点 [au(x)=au'(x). x处可导，则f)=4(x)+,(x)+…+u.(x) (2)若函数(x),(x),∫x)都在点x处 推论2：设函数4(x,山，(x,,4,(x) 可导，则函数fx)=x)3x)f(x)在点 都在点x处可导，则 f)=a4(x)+a4(x)+…+Cn4n(x) x处可导，且 在点x处可导，且 (AA/)=h/+h/i+hf/j f'(x)=a4(x)+a(x)+…
一、函数和积商的求导法则 注记 5 定理（1-2)可以推广到 有限个函数上 （ 1 ）若函数 1 2 ( ), ( ), , ( ) n uxux u x ⋅⋅⋅ 都在点 x处可导，则 1 2 () () () n f(x) u x u x u x = + +⋅⋅⋅+ （ 2 ）若函数 1 23 f ( ) , ( ), ( ) x fxfx 都在点 x 处 可导，则函数 123 f(x) f x f x f x = () () () 在点 x 处可导，且 ( ) 123 1 23 123 123 fff f ff fff fff ′ ′ ′ = ++ ′ 推论 1：如果函数 u ( x ) 在点 x处可导， 则函数 f () () x ux = α 在点 x 处可导，且 [ ( )] ( ) αux u x ′ = α ′ . 推论 2：设函数 1 2 ( ), ( ), , ( ) n uxux u x ⋅⋅⋅ 都在点 x处可导，则 11 2 2 () () () n n f(x) u x u x u x = α + +⋅⋅⋅+ α α 在点 x 处可导，且 11 2 2 () () () () n n f ′ x ux ux ux = + +⋅⋅⋅+ αα α ′ ′ ′
二、导数的运算法则的应用 例1：证明(a,x2+a,x-++an-x+a,)=nax+(n-la,x-2++an 证明：由求导法则及基本函数的求导公式可得 (ax+ax-1++an-x+a)=(ax）+(ax-）+…+(an-x)+(a) =a(x）+a(x-）+…+a()+(aj》 =na,x-1+(n-1)a,x-2+…+an
二、导数的运算法则的应用 例 1 ：证明( ) 1 12 01 1 0 1 1 ( 1) nn n n nn n a x a x a x a na x n a x a − −− − − ′ + +⋅⋅⋅+ + = + − +⋅⋅⋅+ 证明：由求导法则及基本函数的求导公式可得 ( )( )( ) ( ) () 1 1 01 1 0 1 1 = nn n n nn n n ax ax a x a ax ax a x a − − − − ′′ ′ ′ ′ + +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅+ + () ( ) () ( ) 1 = + ++ + 01 1 n n n n ax ax a x a − − ′ ′ ′ ′ ⋅⋅⋅ 1 2 011 ( 1) n n n na x n a x a − − = + − +⋅⋅⋅+ −
二、导数的运算法则的应用 例2设y=e(sinx+cosx),求y 解：由导数运算法则及基本初等函数的求导公式可得 y=[e(sinx+cosx)月 =(e)(sinx+cosx)+e(sinx+cosx) =e*(sinx+cosx)+e*(cosx-sinx) =2e*cosx
例 2 设 ( ) sin cos x y = + exx ，求 y′ 解：由导数运算法则及基本初等函数的求导公式可得 ( ) sin cos x ye x x ′ ′ = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ( ) sin cos cos sin ( ) x x = ++ − e x xe x x 2 cos x = e x 二、导数的运算法则的应用 ( ) ( )( ) sin cos sin cos x x e x xe x x ′ ′ = ++ +
二、导数的运算法则的应用 例3设y=tanx,求y 分析：(I)由于y=tanx=sinx是两个函数u=sinx,y=cosx商的形式，显然 cosx 分子分母均可导.由两个函数商的导数运算法则可得 u'v-uv'(sinx)'cos x-sin x(cosx)' cos2 x (2)利用求导公式求出函数的导数，并化简 (sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx sin2 x+cos2x=1, secx cos x
例 3 设 y x = tan ，求 y′ 分析：（1）由于 sin tan cos x y x x = = 是两个函数u xv x = = sin , cos 商的形式，显然 分子分母均可导.由两个函数商的导数运算法则可得 2 2 (sin ) cos sin (cos ) cos u v uv x x x x y v x ′ − ′′ ′ − ′ = = （2）利用求导公式求出函数的导数，并化简 2 2 sin cos 1, x x + = 1 sec cos x x = (sin ) cos ,(cos ) sin x xx x ′ = ′ = − 二、导数的运算法则的应用
二、导数的运算法则的应用 例3设y=tanx,求y 解：由导数运算法则及基本初等函数的求导公式可得 y': sin x (sin x)'cosx-sin x(cosx)' cosx cos2 x cos'x+ 2 =secx cos2x cos2 x 即 (tanx)'=sec2x 同理可得 (cotx)'=-csc2x
例 3 设 y x = tan ，求 y′ 解：由导数运算法则及基本初等函数的求导公式可得 2 2 2 cos sin cos x x x + = 2 2 1 sec cos x x = = 2 sin (sin ) cos sin (cos ) cos cos x x x xx y x x ′ ⎛ ⎞ ′ − ′ ′ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 即 (tan ) sec x x ′ = 同理可得 2 (cot ) csc x x ′ = − 二、导数的运算法则的应用