§1.2数值问题与数值算法 、数值问题 数值问题: 输入数据与输出数据之间函数关系的 个确定而无歧义的描述 即:输入与输出的都是数值的数学问题 如求解线性方程组Ax=b 是数值问题 求解二次方程ax2+bx+c=0 输入的数据是系数矩阵A,常数项向量b与系数a,b,c
数值问题： 输入数据与输出数据之间函数关系的 一个确定而无歧义的描述 即： 输入与输出的都是数值的数学问题 如求解线性方程组 Ax = b 求解二次方程 0 2 ax + bx + c = 输入的数据是系数矩阵A,常数项向量b与系数a,b, c 是数值问题 一、数值问题 §1.2 数值问题与数值算法
输出的数据是解向量x,和方程的解x1x2 y=2x+3 求解微分方程 y(0)=0 不是数值问题 输入的虽是数据但输出的不是数据而是函数y=x2+3 将其变成数值问题,即将其“离散化” 即将求函数y=x2+3x 改变成求函数值y(x1)y(x2)…,y(xn),x1<x2<…<xn “离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法,这也是计算方法的任务之
求解微分方程 î í ì = ¢ = + (0) 0 2 3 y y x 不是数值问题 , y x 3x 2 输入的虽是数据 但输出的不是数据而是函数 = + 将其变成数值问题，即将其“离散化” y x 3x 2 即将求函数 = + n n y x y x L y x x < x <L< x 1 2 1 2 改变成求函数值 ( ), ( ), , ( ), “离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一 1 2 输出的数据是解向量x,和方程的解x , x
二、数值方法 数值方法 是指解数值问题的在计算机上 可执行的系列计算公式 在计算机上可执行的公式是指只含有加减乘除的公式 现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数 sqrt( 常见的在计算机上不能直接运行的计算有 开方、极限、超越函数、微分、积分等等 要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价 或近似等价运算
二、数值方法 数值方法: 是指解数值问题的在计算机上 可执行的系列计算公式 在计算机上可执行的公式 是指只含有加减乘除的公式 现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt() 常见的在计算机上不能直接运行的计算有: 开方、极限、超越函数、微分、积分等等 要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价 或近似等价运算
b±√b2-4ac 如求根公式x12= 2a 应化为公式x2 b土sgr(b2-4ac) 2a 超越函数e应化为 X X ex≈1+x++…+ 2 函数y(x)的导数y(x)的计算应化为 y(x)≈(x+b) y(x h
x 超越函数e 应化为 2! ! 1 2 n x x e x n x » + + +L+ 函数y(x)的导数y ¢(x)的计算应化为 h y x h y x y x ( ) ( ) ( ) + - ¢ » 如求根公式 a b b ac x 2 4 2 1,2 - ± - = 应化为公式 a b sqrt b ac x 2 ( 4 ) 2 1,2 - ± - =
研究数值方法的主要任务: 1将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算故要进行误差分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性 本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微分方程、 矩阵特征值及回归拟合等问题寻找行之有效的数值方法
研究数值方法的主要任务: 1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性 本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微分方程、 矩阵特征值及回归拟合等问题寻找行之有效的数值方法