证由定理条件,f(x)可展开为 Fourier级数。记(x)的 Fourier 系数为a和b,则有, r ,'(x)d lx=-[f(π)-f(-π)]=0 f(x)cos nxd x f( x)cos nx f(x)sin nxd x= nb f()sin nxd x=-na,, 于是 f'(x)2(a, nsin nx+ b, ncos nx)
证 由定理条件，f x ′( )可展开为 Fourier 级数。记 f x ′( )的 Fourier 系数为a b ′ ′ n n 和 ，则有， a0′ = π π 1 ( )d π f x x − ′ ∫ 1 [ (π) ( π)] 0 π = f f −− = ， an′ = π π 1 ( ) cos d π f x nx x − ′ ∫ π -π ( )cos π f x nx = + π π ( )sin d π n f x nx x − = ∫ nbn， n = ,2,1 "， bn′ = π π 1 ( )sin d π f x nx x − ′ = ∫ − nan， n = ,2,1 "。 于是 f x ′( )~ ( sin cos ) − + = ∞ ∑ a n nx b n nx n n n 1
Fourier级数的逼近性质 定义16.3.1设S是一个定义了内积运算(,)的线性空间,取S 中的范数为 T是S一个n维子空间,记T的一组正交基为gn,g2…,0n,即 T=span(122…,gn}, 若对于x∈S,有 c1+c292+…+Cnn∈T 使得 T min x-y y∈T 则称x是x在T中的最佳平方逼近元素。 图16.3.1
Fourier 级数的逼近性质 定义 16.3.1 设 S 是一个定义了内积运算(,) ⋅ ⋅ 的线性空间，取S 中的范数为 ⋅ = ⋅⋅ (,) ， T 是 S 一个n维子空间，记T 的一组正交基为ϕ ϕ ϕ n ,,, 21 " ，即 1 2 span{ , , , } T = ϕ ϕ ϕ " n ， 若对于 x S ∈ ，有 11 2 2 n n x T T = + ++ ∈ cc c ϕ ϕ ϕ " ， 使得 x x − T min ∈ = − y T x y ， 则称 xT 是 x 在T 中的最佳平方逼近元素。 x x x − T T xT 图 16.3.1