令 有 cos nc +-sin nc 2 两式相减并整理,即得到 a F(x)= f(t)-o dt 2 ∑ sin nx- sinC +6 cos nx+ conc n ∑∫(asem+sndt
令 x = c ，有 ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛−+= + 1 0 cos sin 2 0 n n n nc n a nc n A b ， 两式相减并整理，即得到 F x( ) = 0 () d 2 x c a f t t ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑ ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +− + − = 1 sinsin coscos n n n n ncnx b n ncnx a 1 ( cos sin )d x n n c n a nt b nt t ∞ = = + ∑ ∫
令 有 cos nc +-sin nc 2 两式相减并整理,即得到 F(x)=|011=∑ sin nx- sinC +6 cos nx+ conc n ∑∫(cosm+bsm)dr 定理16.3.2说明,只要f(x)可以展成 Fourier级数 f(x)+2(a, cos nx+b, sin nx) 哪怕这个级数并不表示∫(x),甚至根本不收敛,它的逐项积分级数 也一定能收敛于f(x)的积分
定理 16.3.2 说明，只要 f x( )可以展成 Fourier 级数 f x( )~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， 哪怕这个级数并不表示 f x( )，甚至根本不收敛，它的逐项积分级数 也一定能收敛于 xf )( 的积分。 令 x = c ，有 ∑ ∞ = ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛−+= + 1 0 cos sin 2 0 n n n nc na nc n A b ， 两式相减并整理，即得到 F x( ) = 0 () d 2 xc a f t t ⎡ ⎤ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ∑∞= ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ +− + − = 1 sinsin coscos n n n n ncnx b n ncnx a 1 ( cos sin )d x n n c n a nt b nt t ∞ = = + ∑∫
从定理16.3.2的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier级数的一个必要条件。 推论16.3.1+∑( a. cos nx+ b sin nx)是某个在[兀丌上可积或 n=1 绝对可积函数的 Fourier级数的必要条件是∑一收敛。 n=1
从定理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier 级数的一个必要条件。 推论 16.3.1 a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )是某个在[− π,π]上可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n = ∞ ∑ 1 收敛
从定理16.3.2的证明,我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier级数的一个必要条件。 推论16.3.1+∑( a. cos nx+ b sin nx)是某个在[兀丌上可积或 n=1 绝对可积函数的 Fourier级数的必要条件是∑一收敛。 n=1 由推论16.3.1可知并不是任意一个收敛的三角级数就一定是某 个可积或绝对可积函数的 Fourier级数的。比如三角级数∑mn,由 Dche别法可知它是点点收敛的,但由于∑nn发散,它不可能 是某个可积或绝对可积函数的ouer级数
由推论 16.3.1 可知并不是任意一个收敛的三角级数就一定是某 个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数的。比如三角级数 ∑ ∞ = 2 ln sin n n nx ，由 Dirichlet 判别法可知它是点点收敛的，但由于 ∑ ∞ = 2 ln 1 n nn 发散，它不可能 是某个可积或绝对可积函数的 Fourier 级数。 从定理 16.3.2 的证明，我们还顺便得到了判断一个三角级数 是否为 Fourier 级数的一个必要条件。 推论 16.3.1 a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )是某个在[− π,π]上可积或 绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 b n n n = ∞ ∑ 1 收敛
Fourier级数逐项微分的结果就远没有这么好了。一般说来, Fourier级数是不能逐项微分的,除非是加上特别的条件。 定理16.3.3( Fourier级数的逐项微分定理)设f(x)在[-兀上 连续, f(x) do +2(a, cos nx + b, sin nx) 2 f(-x)=f(x),且除了有限个点外f(x)可导。进一步假设∫(x)在[兀上 可积或绝对可积(注意:∫(x)在有限个点可能无定义,但这并不影 响其可积性)。则∫'(x)的 Fourier级数可由∫(x)的 Fourier级数逐项微 分得到,即 r(():邮m 2(a, nsin nx +b,n cos nx)
Fourier 级数逐项微分的结果就远没有这么好了。一般说来， Fourier 级数是不能逐项微分的，除非是加上特别的条件。 定理 16.3.3（Fourier 级数的逐项微分定理） 设 f x( )在[−π,π]上 连续， f x( )~ a a nx b nx n n n 0 2 1 + + = ∞ ∑( cos sin )， f f (−π) ( = π) ，且除了有限个点外 xf )( 可导。进一步假设 f x ′( )在[−π,π]上 可积或绝对可积（注意： f x ′( )在有限个点可能无定义，但这并不影 响其可积性）。则 f x ′( )的 Fourier 级数可由 f x( )的 Fourier 级数逐项微 分得到，即 f x ′( )~ 0 1 d d ( cos sin ) d2 d n n n a a nx b nx x x ∞= ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∞ = −= + 1 sin( )cos n n n nxnbnxna