>注意：(1)定义中区间的分法和,的取法必须是任意的；(2)定积分的值是个数，积分值仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关"f(x)dx = f'f(t)dt = f' f(u)du(3)当函数f(x)在区间[a,bl上的定积分存在时，称函数f(x)在区间[a,b|上可积
➢注意： b a f (x)dx = b a f (t)dt = b a f (u)du (2)定积分的值是个数，积分值仅与被积函数 及积分区间有关，而与积分变量的记法无关. (1) i 定义中区间的分法和ξ 的取法必须是任意的； (3) ( ) [ , ] ( ) [ , ] . f x a b f x a b 当函数 在区间 上的定积分存在时， 称函数 在区间 上可积
定积分存在定理定理1设函数f(x)在区间[a,b|上连续则函数f(x)在区间[a,b|上可积设函数f(x)在区间[a,bl上有界，且只有有限定理2个间断点,则函数f(x)在区间[a,b上可积
定理1 定理2 定积分存在定理 ( ) [ , ] , ( ) [ , ] . f x a b f x a b 设函数 在区间 上连续 则函数 在区间 上可积 ( ) [ , ] , , ( ) [ , ] . f x a b f x a b 设函数 在区间 上有界 且只有 限 个间断点 则函数 在区间 上可积
T'x'dx例1利用定义计算定积分解 将[0,1]n等分，分点为x;=二, (i=1,2,…,n)(i=1,2,..",n)小区间[xi-1,x,]的长度△x;=n取5, =x,, (i=1,2,.,n)Zf(5)Ax, -2 s'Ax, =ZxAx,i=1i=l
例1 利用定义计算定积分 . 1 0 2 x dx 解 将[0,1]n等分，分点为 n i xi = ，(i = 1,2,,n) 小区间[ , ] i 1 i x x − 的长度 n xi 1 = ，(i = 1,2,,n) 取 i i = x ，(i = 1,2, ,n) i i n i f x = ( ) 1 i i n i = x = 2 1 , 1 2 i n i i = x x =
1 n(n+1)(2n+1)2()1-i2h36=-(1+)2+)0=n8'd=m(1+2+)-
n n i n i 1 2 1 = = = = n i i n 1 2 3 1 6 1 ( 1)(2 1) 3 + + = n n n n , 1 2 1 1 6 1 + = + n n → 0 n → 1 2 0 x dx + = + n→ n n 1 2 1 1 6 1 lim . 3 1 =
定积分的几何意义(1)f(x) >0 时,f(x)dx=A，A为下图所示的曲边梯形的面积f(xV=bxa
定积分的几何意义 (1) f (x) > 0 时， f (x)dx A, b a = A 为下图所示的曲 边梯形的面积. a b x y y = f ( x ) O