山东建筑大学：《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第一章 函数与极限 第三节 函数的极限

第一章 函数与极限 高等数学少学时 第三节备数的极限 一、 自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋向于有限值时函数的极限 三、函数极限的性质 北京邮电大学出版社

1 第三节 函数的极限 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 三、 函数极限的性质 二、自变量趋向于有限值时函数的极限

第一章 函数与极限 高等数学少学时 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 当x→oo时函数fx)的极限，与当n→oo时数列xn=f孔m的极 限类似，所不同的是数列xm=f孔)的自变量只能取正整数，而函 数x)的自变量可以取任何实数.仿照数列极限的定义，函数的极 限定义如下： 定义1如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小）， 总存在正数X使得当x满足不等式xX时，对应的函数值fx)都 满足不等式 f(x)-A<6, 那么就称常数A为函数fx)当x→∞时的极限，记作 m=A或f)→A(6→o 北京邮电大学出版社

2 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 当x→∞时函数f(x)的极限，与当n→∞时数列xn =f(n)的极 限类似，所不同的是数列xn =f(n)的自变量n只能取正整数,而函 数f(x)的自变量可以取任何实数.仿照数列极限的定义,函数的极 限定义如下: f (x) A x = → lim 或 f (x)→ A (x → ). 定义1 如果存在常数A,对于任意给定的正 总存在正数X,使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)都 f (x)− A   , 那么就称常数A为函数f (x)当x→∞时的极限，记作 数  (不论它多么小), 满足不等式

第一章 函数与极限 高等数学少学时 定义1可以简单的表述为： 寸ε>0,3X>0,当|x>X时，有f(x)-A<6,则Iimf(x)=A. 注①He>0,X>0,当x>X,恒有f(x)A<6,则imf(x)=A, ② ε>0,3X>0,当x<-X,恒有f(x)-A<6,则Iimf(x)=A. ③Iimf(x)=A的几何意义： 作直线y=A-和y=A+6,则总存在X>0,使得当x>X, 函数y=f(心)的图形位于这两条直线间 4+8 A- -X 0 X X 北京邮电大学出版社 3

3   0,X  0,当| x | X时,有 f (x) − A   , lim f (x) A. x = → 则 定义1可以简单的表述为：   0,X  0,当x  X,恒 有 f (x) − A   , lim f (x) A. x = →+  则 lim f (x) A. x = →−    0,X  0,当x  −X,恒 有 f (x) − A   , 则 ① ② 注 f (x) A的几何意义： x = → lim 作直线y = A− 和y = A+  ,则总存在X  0,使得当x  X, 函数y = f (x) 的图形位于这两条直线之间. − X 0 X x y A−  A+  A ③

第一章 函数与极限 高等数学少学时 1 例1证明 im上=0. x->0o x 证对于任给：>0， 1 取X= 当>X时，就有上0<所以m0 x→oX 此时，直线y=0是函数y=1的图形的水平渐近线 C 一般地，若imf(x)=A, 1 则称直线y=A是曲线y=fx)的水 1 平渐近线. X 北京邮电大学出版社

4 , 1 0 1   0, − =   x x 对于任给 要 使 , 1  取X = . 1  只要 x  0 . 1  , −   x 当x X时 就有 0. 1 lim = x→ x 所以 . 1 此 时,直 线 0 是函数 的图形的水平渐近线 x y = y = 证 0. 1 lim = x→ x 例1 证明 一般地，若 lim f (x) A, x = → 则称直线y=A是曲线y=f(x)的水 平渐近线. x y 1 = O x y 1 1

第一章 函数与极限 高等数学少学时 二、自变量趋向于有限值时函数的极限 定义2如果存在常数A,对于任意给定的正数ε（不论它多么小）， 总存在正数δ，使得当x满足不等式0<k-xo<δ时，对应的函数值) 都满足不等式 fx)-A<6, 那么就称常数A为函数fx)当x→x时的极限，记作 mw)=减fc)→A(→x 定义2可以简单的表述为： V8>0,36>0,当0<x-xK6时，有f(x)-A<8,则 lim f(x)=A. x→xo 北京邮电大学出版社

5 f (x) A x x = → 0 lim ( ) ( ). 0 或 f x → A x → x 定义2 如果存在常数A,对于任意给定的正 总存在正数δ,使得当x满足不等式0<|x-x0 |< δ时,对应的函数值f(x) f (x)− A   , 那么就称常数A为函数f (x)当x→ x0时的极限，记作 数  (不论它多么小), 二、自变量趋向于有限值时函数的极限 都满足不等式   0,  0,当0 | x − x0 | 时,有 f (x) − A   ,则 lim ( ) . 0 f x A x x = → 定义2可以简单的表述为：