第一章函数与极限 高等数学少学时 第四节无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 二、无穷大量 北京邮电大学出版社 01
1 第四节 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 二、无穷大量
第一章函数与极限 高等数学少学时 一、无穷小量 1.无穷小的定义 定义1如果imf(x)=0(或Iimf(x)=0),那么称函数) x→X0 为当x→x(或x→∞)时的无穷小量，简称为无穷小. 例如：：lim(x-1)=0,∴f(x)=x-1是当r→1时的无穷小 im1=0,函数是当x→o时的无穷小 x→0C C 注①讲无穷小必须指明自变量的变化趋向. ②无穷小与很小的数不能等同，无穷小是变量.零是可作 为无穷小的唯一常数. 北京邮电大学出版社 2
2 一、无穷小量 1.无穷小的定义 定义1 lim ( ) 0 lim ( ) 0 , 0 如果 = （或 = ） → → f x f x x x x 那么称函数f(x) 为当x→x0 (或x→∞)时的无穷小量，简称为无穷小. lim( 1) 0, 1 − = → x x 0, 1 lim = x→ x 例如： f (x) = x −1是当x →1时的无穷小. . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 注 ① 讲无穷小必须指明自变量的变化趋向. ② 无穷小与很小的数不能等同,无穷小是变量.零是可作 为无穷小的唯一常数
第一章 函数与极限 高等数学少学时 无穷小与函数极限有下述关系： 定理1imf(x)=A台f(x)=A+a,其中ima(x)=0. x→x0 x→x0 (x→0) (x→o) 证先证必要性 由已知Iimf(x)=A,现设a=f(x)-A.根据极限的定义， x→X0 对于ε>0,36>0，使得当0<x-x<6时，有 f(x)-A=a<s, 即 lim a(x)=0. x→x0 北京邮电大学出版社
3 无穷小与函数极限有下述关系： ( ) = → → f x A x x x ( ) 0 定理1 lim f (x) = A+ , lim ( ) 0 . ( ) 0 = → → x x x x 其中 证 对于 0 , 0 ,使得当0 x − x0 时,有 现设 = f (x)− A. 先证必要性 由已知 f x A， x x = → lim ( ) 0 根据极限的定义, f (x)− A = , lim ( ) 0 . 0 = → x x x 即
第一章 函数与极限 高等数学少学时 再证充分性 设f(x)=A+a,其中A是常数，是无穷小x→x)由无穷小 的定义，对于ε>0,6>0，使得当0<x-x<6,有 a=f(x)-A<s, 即 imf(x)=4. 类似地可证明→x,x→，x→o时的情形 北京邮电大学出版社
4 ( ) , , ( ). x A A x x0 设f = + 其中 是常数 是无穷小 → 0, 0 ,使得当0 x − x0 ,有 lim ( ) . 0 f x A x x = → , , . 类似地可证明x → x0 − x → x0 + x → 时的情形 再证充分性 由无穷小 的定义,对于 = f (x)− A , 即
第一章函数与极限 高等数学少学时 2.无穷小性质 定理2在某一极限过程中，有限个无穷小的和仍为无穷小. 证只对两个无穷小的情形加以证明. 设a,均为当→x时的无穷小y=a+B.由无穷小的定义， >0,对于>0,36>0，d,>0,使得当0<x-<d时，有 a<；当0<x-x<d时，有1BK取6=min{6,6b则当 0<x-x<时，有 y≤|a+|B< c. 2 所以a+为x→x时的无穷小 北京邮电大学出版社 5
5 2.无穷小性质 定理2 在某一极限过程中，有限个无穷小的和仍为无穷小. 证 只对两个无穷小的情形加以证明. , , . 设α β均为当x → x0时的无穷小 = + δ1 0,δ2 0,使得当0 x − x0 δ1时,有 ; 2 0 , 当 x − x0 δ2 时 . 2 | | 有 β 取 = min 1 , 2 ,则当 . 2 2 + + = . 所以α + β为x → x0时的无穷小 0 , 2 0, ε 对于 由无穷小的定义, 0 x − x0 时,有