不难看出，这样一个对换可以看为，k经$+1个相邻对 换将(3)变为.，. 再将j一位一位地向右移动，经过$个相邻对换变成排 列(4)。因此，j,k对换，可以通过2s+1个相邻对换 实现。而2s+1是奇数，所以，改变排列的奇偶性。 ■推论在所有的n元排列中奇偶排列各为n2。 定理2任意一个n级排列与自然排列12.n都可以经 过一系列对换互换，并且，所做的对换的个数与这个 排列有相同的奇偶性
不难看出，这样一个对换可以看为，k经s+1个相邻对 换将（3）变为 再将j一位一位地向右移动，经过s个相邻对换变成排 列（4）。因此，j,k对换，可以通过2s+1个相邻对换 实现。而2s+1是奇数，所以，改变排列的奇偶性。 ▪ 推论 在所有的n元排列中奇偶排列各为n!/2。 ▪ 定理2 任意一个n 级排列与自然排列12.n都可以经 过一系列对换互换，并且，所做的对换的个数与这个 排列有相同的奇偶性。 kji1 i 1 i s
证明我们对排列级数作数学归纳法 1级排列只有一个，结论显然成立。 假设结论对n-1级排列已经成立，现在来证 n级排列的情形也成立。 设jJ2.jm是一个n级排列，如果jn=n 歌想器门笑法段安1议-系 列对换也就把jj2.jn变成12.n。 团
证明 我们对排列级数作数学归纳法。 1级排列只有一个，结论显然成立。 假设结论对n-1级排列已经成立，现在来证 n级排列的情形也成立。 设 是一个n级排列，如果 那么根据归纳法假设，n-1级排列 可以经过一系列对换变成12.n-1，于是这一系 列对换也就把 变成12.n。 j n n = 1 2 n−1 j j j n j j j 1 2 n j j j 1 2
如果jn≠n 那么，对jj2.jm 做jn,n 对换，它就变成1j2.jm-1n 这就归结成上面的情形。 相仿地，12.n也可用一系列对换变成 j1J2je因为12.n是偶排列，根据定理1， 所做对换的个数与排列 j2有相同的奇 偶性。 返回
这就归结成上面的情形。 相仿地，12.n也可用一系列对换变成 。因为12.n是偶排列，根据定理1， 所做对换的个数与排列 有相同的奇 偶性。 n j j j 1 2 n j j j 1 2 如果 那么，对 做 对换，它就变成 j n n n j j j 1 2 j n n , j j j n n 1 2 −1
§3n阶行列式 从这一节开始，我们总是取一固定的数 域P作为基础，所谈到的数都是指p上的 数。所考虑的行列式都是数域p上的行列 式 二阶行列式与三阶行列式定义：
§3 n阶行列式 从这一节开始，我们总是取一固定的数 域P作为基础，所谈到的数都是指p上的 数。所考虑的行列式都是数域p上的行列 式 二阶行列式与三阶行列式定义：
ari C12 =a11022-012a21 d21 C22 a11 412 a13 a21 411422433+412423431+013421432 d22 023 -413422431-41242143-41423432（2 031a32 a33 超
1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 a a a a a a a a = − （1） 1 3 2 2 3 1 1 2 2 1 3 3 1 1 2 3 3 2 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 2 2 2 3 1 1 1 2 1 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a − − − + + = （2）