2.存在条件：当P(x,J),Q(x,J)在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分存在3.组合形式. P(x,y)dx+2(x,y)dy, P(x, y)dx + Q(x, y)dy
2.存在条件： , . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L 3.组合形式 = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
du=Uxdr+uydy+Ugdz=uix,n,2)4.推广点,终Pdx +Qdy + Rdz.空间有向曲线弧「1nZJ, P(x, y,z)dx =limP(5i,ni,S)Ax,.2-0i1nZQ(E;, n;,5:)Ayi.[,Q(x, y,z)dy = lim)20i=lnZ[R(x, y,z)dz = limR(S,n;,S)Azi.2→0i=1P(x,M,2)dx+ Q(x, I,2)dy +r(x, N,)d2
4.推广 空间有向曲线弧 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i P x y z dx = P x = → . Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q y = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R z = →
fix)dX=xdx分版老清，5.性质(1)如果把L分成L,和L,，则I Pdx + Qdy = I, Pdx + Qdy + f, Pdx + Qdy.2)设L是有向曲线弧,}2是与L方向相反的有向曲线弧，则P(x, y)dx +Q(x, y)dy = -(, P(x, y)dx +Q(x, y)dy即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关
5.性质 . (1) , 1 2 1 2 + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分成L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是 与 方向相反的 , (2) L ,−L L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
三、对坐标的曲线积分的计算α>β1、定理设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧L上有定义且连x = p(t)续,L的参数方程为当参数t单调地由α变y=y(t),t=&/=β到β时,点M(x,y)从L的起点A沿L运动到终点B(t),y(t)在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数,且β(t)+y(t)≠0,则曲线积分P(x, y)dx +Q(x, y)dy存在
三、对坐标的曲线积分的计算 2 2 ( , ), ( , ) ( ), , ( ), , ( ), ( ) , ( ) ( ) 0 , ( , , ( , ) ( , ) ) , L t P x y Q x y L x t M L y t t t t t P x y dx Q x y x L y y L A B d = = + + 当参数 单调地由 变 到 时 点 从 的起点 沿 运动 设 在曲线弧 上有定义且连 续 的参数方程为 在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 续导数 且 则曲线积 到终 分 存在 点 1、定理